精品解析：广东省湛江市第二十一中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题

2023-2024学年第一学期高二级期中考试数学 考试时间：120分钟 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 若是互斥事件，，则 A. 0.3 B. 0.7 C. 0.1 D. 1 4. 直线与的方向向量分别为和，则与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交 D. 重合 5. 已知是空间的一个基底，若，，则（ ） A. 是空间的一个基底 B. 是空间的一个基底 C. 是空间的一个基底 D. 与中的任何一个都不能构成空间的一个基底 6. 下列命题正确的是（ ） A 零向量没有方向 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 7. 已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）． A. B. C. D. 8. 折纸艺术是我国民间的传统文化，将一矩形纸片放在平面直角坐标系中，，将矩形折叠，使点落在线段上，设折痕所在直线的斜率为，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、多选题 9. 如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，则下列向量中，不能作为平面的法向量的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若直线经过第一、二、四象限，则第二象限 B. 直线必过定点 C. 直线与直线距离为 D. 斜率为，且在轴上的截距为的直线方程为 11. 以下关于圆：的命题不正确的有（ ） A. 点在圆内 B. 直线与圆相切 C. 点在圆上 D. 直线与圆相切 12. 在三棱锥A-BCD中， ，是直二面角，，如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 平面的法向量与平面的法向量垂直 C. 异面直线与所成的角为 D. 直线与平面所成的角为 三、填空题 13. 记圆的圆心坐标为，半径为，则_________ 14. 正方体的棱长为，、分别是、的中点，则点到平面的距离为________. 15. 如图，在正四面体中，，分别为，中点，则与的夹角的余弦值为______． 16. 已知，，点在圆上运动，则的最小值是________. 四、解答题 17. 已知直线过点，根据下列条件分别求出直线的方程： （1）直线的倾斜角为； （2）直线与直线垂直. （3）直线与直线平行. 18. 在长方体中，底面为正方形，，，为中点，为中点. （1）求证：； （2）求与平面成角的余弦值. 19. 已知过，，三点. （1）求的标准方程； （2）直线：与相交于，两点，求的面积（为圆心）. 20. 在中，角，，所对的边分别为，，，且满足. （1）求角； （2）若，求面积的最大值. 21. 2022年“中国航天日”线上启动仪式在4月24日上午举行，为普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了60名，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）若该中学参加这次竞赛的共有2000名学生，试估计全校这次竞赛中“航天达人”的人数； （2）估计参加这次竞赛的学生成绩的80%分位数； （3）若在抽取的60名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，则从成绩在[70，80），[80，90），[90，100]内的学生中分别抽取了多少人？ 22. 在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是的中点. （1）证明：平面； （2）设是直线上的动点，当点到平面距离最大时，求面与面所成二面角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年第一学期高二级期中考试数学 考试时间：120分钟 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用并集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，，因此，. 故选：D. 2. 已知复数，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算即可求解. 【详解】由得， 故虚部为 故选：A 3. 若是互斥事件，，则 A. 0.3 B. 0.7 C. 0.1 D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由题意得，根据互斥事件的概率，可得，所以，故选A. 考点：互斥事件的概率加法公式. 4. 直线与的方向向量分别为和，则与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交 D. 重合 【答案】B 【解析】 【分析】判断向量、的关系，即可得出直线与的位置关系. 【详解】因为直线