第七章 三角函数（压轴题专练）-2023-2024学年高一数学单元速记·巧练（苏教版2019必修第一册）

第七章 三角函数（压轴题专练） 题型一　弧长公式与面积公式的应用 【例1】　如图所示，十字形公路的交叉处周围成扇形，某市规划拟在这块扇形土地上修建一个圆形广场．已知∠AOB＝60°，的长度为100π m．怎样设计能使广场的占地面积最大？其值是多少？ 思维升华　 扇形弧长公式及面积公式的应用类问题的解决方法 首先，将角度转化为弧度表示，弧度制的引入使相关的弧长公式、扇形面积公式均得到了简化，所以解决这类问题时通常采用弧度制．一般地，在几何图形中研究的角，其范围是(0，2π)．其次，利用α，l，R，S四个量“知二求二”代入公式．在求解的过程中要注意： (1)看清角的度量制，选用相应的公式； (2)扇形的周长等于弧长加两个半径长，对于扇形周长或面积的最值问题，通常转化为某个函数的最值问题． 巩固训练 1．我国的“洋垃圾禁止入境”政策已实施一年多．某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB，对应的圆心角∠AOB＝，该地区为打击洋垃圾走私，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD对不明船只进行识别查证(如图，其中海域与陆地近似看作在同一平面内)．在圆弧的两端点A，B分别建有监测站，A与B之间的直线距离为100海里．求海域ABCD的面积． 题型二　给值(或式)求值问题 【例2】已知cos＝，求cos－sin2的值． 思维升华 解决条件求值问题的策略 (1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 巩固训练 1．已知＝3＋2， 求的值． 题型三　利用诱导公式证明恒等式 【例3】求证： ＝－tan α． 思维升华　 利用诱导公式证明恒等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有： (1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简． (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子． (3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异． 巩固训练 1．求证：＝． 题型四　诱导公式的综合应用 【例4】已知cos α＝－，且α为第三象限角． (1)求sin α的值； (2)求f(α)＝的值． 思维升华 用诱导公式化简求值的方法 (1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少． (2)对于π±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名． 巩固训练 1．　已知cos α＝－，且α为第三象限角，求f(α)＝的值． 2．已知f(α)＝． (1)化简f(α)； (2)若α为第三象限角，且cos＝，求f(α)的值． 题型五 　利用同角三角函数关系式证明 【例5】　求证：＝． 思维升华　 证明三角恒等式的思路 (1)从一边开始证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则； (2)证明左右两边等于同一个式子； (3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1； (4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立． 巩固训练 1．求证：＝． 题型六 周期函数在实际中的应用 【例6】　若单摆中小球相对静止位置的位移x(cm)随时间t(s)的变化而周期性地变化，如图所示，请回答下列问题： (1)单摆运动的周期是多少？ (2)从O点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？ (3)当t＝11 s时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？ 思维升华　 根据函数关系对应的图象，首先确定函数的周期，然后再利用周期解决问题． 巩固训练 1．若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示． (1)求该函数的周期； (2)求t＝10 s时钟摆的高度． 题型七　三角函数周期性的综合应用 【例7】　定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f＝(　　) A．－ B． C．－ D． 思维升华　 当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值． 巩固训练 1．定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f＝(　　) 2．定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，，求f＋f的值． 3．设f(x)是周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)＝sin x＋x，则1<x<2时，f(x)＝________． 题型八　正弦、余弦函数图象的应用 【例8】　利用正弦曲线，在[0，2π]内，求sin x＝－的解集． 思维升华　 用三角函数图象解三角方程或不等式的