3.2 双曲线-【高分突破系列】2023-2024学年高二数学同步知识点剖析精品讲义与分层练习（人教A版2019选择性必修第一册）

双曲线 1 定义 平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数(小于的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距． 如图，是双曲线上一点，|. PS 当时，轨迹仅表示双曲线的右支； 当时，轨迹仅表示双曲线的左支； 当|时，轨迹是一直线上以，为端点向外的两条射线； 当|时，轨迹不存在. 2 几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图象 标准方程 范围 或 或 顶点 轴长 虚轴长，实轴长 焦点 焦距 的关系 离心率 渐近线 实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 3 一些常用结论 ①通径：过焦点且垂直实轴的弦，其长度为； ②焦点到渐近线的距离是； ③焦点三角形面积； ④与双曲线共渐近线的双曲线系方程是 ⑤焦半径，(点在双曲线右支上) ⑥双曲线的参数方程. 【题型一】双曲线的定义 【典题1】一动圆过定点，且与已知圆：相切，求动圆圆心的轨迹方程. 巩固练习 1(★) 平面内到两定点的距离之差的绝对值等于的点的轨迹(　　) A．椭圆 B．线段 C．两条射线 D．双曲线 2(★★) 已知两定点，动点满足，则当和时，点的轨迹分别是(　　)． A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线 C．双曲线的一支和一条射线 D．双曲线的一支和一条直线 【题型二】双曲线方程 【典题1】已知方程1表示焦点在x轴上的双曲线，则的求值范围是 . 【典题2】与双曲线共渐近线，且经过点的双曲线标准方程是 . 巩固练习 1(★) 已知方程表示双曲线，则的取值范围是(　　)． A． B． C． D．或 2(★) 双曲线过点(4，)、(3，)，则双曲线的标准方程为　　． 3(★★) 已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则该双曲线的标准方程为 . 【题型三】 双曲线的图像及其性质 【典题1】已知双曲线的方程为，则下列说法错误的是(　　) A．双曲线的实轴长为 B．双曲线的渐近线方程为 C．双曲线的焦点到渐近线的距离为 D．双曲线上的点到焦点距离的最小值为 【典题2】 设双曲线：，的左、右焦点分别为，，离心率为．是上一点，且，若的面积为，则 . 【典题3】 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为 . 巩固练习 1(★) 对于双曲线：和：，给出下列四个结论： (1)离心率相等；(2)渐近线相同；(3)没有公共点；(4)焦距相等，其中正确的结论是(　　) A．(1)(2)(4) B．(1)(3)(4) C．(2)(3)(4) D．(2)(4) 2(★) 若双曲线：的实轴长等于虚轴长的一半，则(　　) A． B． C． D． 3 (★★) 设双曲线的左、右两焦点分别为，是双曲线右支上一点，且三角形为正三角形(为坐标原点)，则双曲线的离心率是(　　) A． B． C． D． 4 (★★) 已知双曲线：的离心率为，为坐标原点，过右焦点的直线与的两条渐近线的交点分别为，，且为直角三角形，若，则的方程为(　　) A． B． C． D． 5 (★★) 已知点，分别是双曲线：的左、右焦点，是右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率为 . 6 (★★★) 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与的左、右支分别交于两点，2，•0，则的渐近线方程为 . 7(★★★) 已知、是双曲线的两个焦点，点是该双曲线和圆的一个交点，若，则该双曲线的离心率是 . 【题型四】最值问题 情况1 求离心率范围 【典题1】 已知双曲线在两条渐近线所构成的角中，设以实轴为角平分线的角为，若的取值范围是，则该双曲线离心率的取值范围是(　　) A． B． C． D．[2，+∞) 情况2 几何法求范围 【典题1】点是双曲线：的右焦点，动点在双曲线左支上，直线：与直线：的交点为，则的最小值为(　　) A．8 B． C．9 D． 情况3 函数法求范围 【典题1】已知双曲线的一条渐近线方程为，为双曲线上一个动点，为其左，右焦点，的最小值为，则此双曲线的焦距为(　　) A．2 B．4 C．2 D．2 巩固练习 1 (★★) 已知是双曲线的左右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是　 　． 2(★★) 设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，则的最小值为　 　． 3(★★) 已知，