（典例精讲）第六单元 比的认识-2023-2024学年六年级数学上册典题精讲专项讲义（北师大版）

第六单元 比的认识 （思维导图+知识梳理+典型精讲+真题演练） 知识点一：生活中的比 1、认识比。 （1）两个数相除,又叫作这两个数的比。在一个比里面,“∶”叫比号,比号前面的数叫作比的前项,比号后面的数叫作比的后项,前项除以后项的结果叫作比值,比值是一个具体的数。 （2）求比值的方法。 用比的前项除以比的后项得到一个数,这个数就是比值。比值可以用分数表示,也可以用小数或整数表示,但是要注意比值是不带单位的。 2、比与除法、分数之间的关系。 （1）列表格表示比、除法、分数之间的关系。 （2）用字母表示比,除法、分数三者之间的关系,可以表示为a: b=a÷b=(b≠0)。 知识点二：比的化简 1、认识化简比。 （1）可以根据比与分数的关系,借助分数的基本性质化简比。 （2）解答与比有关的简单实际问题时,我们可以结合实际问题,把比进行化简。 2、比的基本性质。 （1）比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数,比值不变。（2）比的基本性质与分数的基本性质,商不变的性质是一样的。 （3）利用比的基本性质解答有关比的实际问题时,要注意比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数,而不是增加或者减少相同的数。 3、化简整数比、小数比、分数比的方法。 化简比有不同的方法:①整数与整数的比的化简,可以先把比改写成分数的形式,再把这个分数进行约分;或者把比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。②小数与小数的比的化简,可以先把小数比改写成小数的除法,再根据商不变的性质进行化简;也可以根据比的基本性质把小数与小数的比先转化成整数与整数的比,再化简。③分数与分数的比的化简,用比的前项除以比的后项,结果一定是一个比;也可以把比的前项和后项同时乘它们分母的最小公倍数。 知识点三：比的应用 1、解决按照一定的比进行分配的实际问题。 按一定的比进行分配的问题的解法;方法一,先求出总量一共被平均分成了几份,再采用平均分的方法求出每份的具体数量,最后求出各部分相应的具体数量。方法二,先求出总量一共被平均分成了几份,再用相应的分数来表示各部分量占总量的几分之几,最后用分数乘法来解答。方法三,根据比设一份量为x,列方程解答。 2、按一定的比进行分配的问题的应用。 另一部分量=已知部分量÷已知部分量对应的份数×另一部分量对应的份数。 总数量=已知部分量÷已知部分量对应的份数×总份数。 考点一：生活中的比 【典例一】六（2）班男生人数是女生人数的，女生人数与全班人数的比是（    ）。 A．3∶5 B．3∶8 C．5∶8 【分析】根据题意，男生人数是女生人数的，将男生人数看作3，女生人数看作5，男生人数＋女生人数＝全班人数，再根据比的意义，用男生人数∶全班人数，即可解答。 【详解】3∶（3＋5） ＝3∶8 六（2）班男生人数是女生人数的，女生人数与全班人数的比是3∶8。 故答案为：C 【点睛】明确分数与比的意义是解答本题的关键。 【典例二】把一根木头锯成相等的5段，如果每锯一次的时间都相等，那么锯第一段所用的时间与全部锯完所用的时间之比是( )。 【分析】锯成5段需要锯4次，将锯一次的时间看作1，则锯4次的时间就是4，再根据比的意义，用锯1次用的时间∶锯4次用的时间，即可解答。 【详解】根据分析可知，锯第一段所用的时间与全部锯完所用的时间之比是： 1∶（5－1）＝1∶4 把一根木头锯成相等的5段，如果每锯一次的时间都相等，那么锯第一段所用的时间与全部锯完所用的时间之比是1∶4。 【点睛】本题主要考查了比的意义与植树问题；同时注意锯木或截绳等问题中锯的次数＝段数−1。 【典例三】19世纪初法国数学家拉普拉斯经过研究发现，在不同的地区男婴和女婴的出生人数比大致是相同的。下表是某一年我国A、B、C三座城市的男、女婴儿出生人数比。 城市 A B C 男、女婴儿出生人数比 114∶100 43∶40 28∶25 哪个城市男、女婴儿出生人数的差异最大？哪个城市男、女婴儿出生人数的差异最小？ 【分析】要求男女婴出生人数的差异大小，用比的前项除以后项，看比值的大小即可。 【详解】A城市：114÷100＝1.14 B城市：43÷40＝1.075 C城市：28÷25＝1.12 1.14＞1.12＞1.075 答：A城市男女婴出生人数的差异最大，B城市男女婴出生人数的差异最小。 【点睛】此题采用了求比值的方法，通过比较比值的大小，解决问题。 考点二：比的化简 【典例一】大圆直径4分米，小圆直径2分米，大、小两个圆的面积比是（    ）。 A．4∶2 B．4∶1 C．2∶1 D．8∶1 【分析】根据题意，可利用公式d＝2r，S＝πr2表示出大、小圆的半径、面积，然后再用小圆的面积比大圆的面积即可。 【详解】小圆半径： 2÷2＝1（分米） 大圆半径