10.4 空间中的垂直关系（讲）-【中职专用】中职高考数学一轮复习讲练测（山东专用）

10.4 空间中的垂直关系 知识点一 空间两条直线垂直的判定与性质 如果空间两条直线所成的角是90º，那么称这两条直线互相垂直，直线a和b互相垂直，记作a⊥b． 知识点二 直线与平面垂直的判定与性质 1.直线与平面垂直的判定 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直． 2.直线和平面垂直的性质 垂直于同一个平面的两条直线互相平行． 知识点三 平面与平面垂直的判定与性质 1.平面与平面垂直的判定 一个平面经过另一个平面的垂线则两个平面垂直． 2.平面与平面垂直的性质 如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 考点1 证明直线与直线垂直问题 【例1】对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边中点分别为M，N，P，Q，判定四边形MNPQ的形状． 【解】如图所示，∵点M，N，P，Q分别是四条边的中点， ∴MN∥AC，且MN＝AC， PQ∥AC，且PQ＝AC， 即MN∥PQ且MN＝PQ，∴四边形MNPQ是平行四边形． 又∵BD∥MQ，AC⊥BD，∴MN⊥MQ， ∴平行四边形MNPQ是矩形． 【解后感悟】证明空间中两条直线垂直的方法 (1)定义法：利用两条直线所成的角为90°证明两直线垂直； (2)平面几何图形性质法：利用勾股定理、菱形的对角线相互垂直、等腰三角形(等边三角形)底边的中线和底边垂直等．　　 【变式1-1】在正方体ABCD­A1B1C1D1中，与直线AA1垂直的棱有(　　) A．2条　　　　　　　　　　　 B．4条 C．6条 D．8条 【答案】D　 【解析】在正方体AC1中，与AA1垂直的棱为A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，AB，BC，CD，DA，共8条．故选D. 【变式1-2】如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，D是AB的中点，则在所有的棱中与直线CD和AA1都垂直的直线有________． 【答案】AB，A1B1　 【解析】由正三棱柱的性质可知与直线CD和AA1都垂直的直线有AB，A1B1. 【变式1-3】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心．求证AO1⊥BD. 【证明】如图所示，连接B1D1，AD1，AB1，AO1， ∵ABCD­A1B1C1D1是正方体，∴BB1綉DD1. ∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD. ∴直线AO1与B1D1所成的角即为直线AO1与BD所成的角． 易证AB1＝AD1.又O1为底面A1B1C1D1的中心， ∴O1为B1D1的中点，∴AO1⊥B1D1，∴AO1⊥BD. 考点2 直线与平面垂直的判定 【例2】如图，在四面体PABC中，已知BC＝6，PC＝10，PB＝2.F是线段PB上一点，CF＝，点E在线段AB上，且EF⊥PB.求证：PB⊥平面CEF. 【证明】在△PCB中，∵PC＝10，BC＝6，PB＝2，CF＝， ∴PC2＋BC2＝PB2，∴△PCB为直角三角形，PC⊥BC， 又PC·BC＝PB·CF，∴PB⊥CF. 又EF⊥PB，EF∩CF＝F， ∴PB⊥平面CEF. 【解后感悟】证明直线和平面垂直，就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线，这一点在解题时一定要体现出来． 【变式2-1】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，与直线AD1垂直的平面是(　　) A．平面DD1C1C B．平面A1DCB1 C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB 【答案】B　 【解析】由几何体ABCD­A1B1C1D1为正方体，可知AD1⊥A1B1，AD1⊥A1D，A1B1∩A1D＝A1，故AD1⊥平面A1DCB1. 【变式2-2】如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，则图中共有直角三角形的个数为________． 【答案】4 【解析】∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC， 又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB. ∴BC⊥PB，同理得CD⊥PD，故共有4个直角三角形． 【变式2-3】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O. 【证明】∵ABCD为正方形，∴AC⊥BO. 又∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， ∴AC⊥BB1， 又∵BO∩BB1＝B，BO，BB1⊂平面BB1O， ∴AC⊥平面BB1O， 又EF是△ABC的中位线， ∴EF∥AC，∴EF⊥平面BB1O. 考点3 直线与平面垂直的性质 【例3】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN. 【证明】∵AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，∴AE⊥AB， 又AB∥C