10.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角（讲）-【中职专用】中职高考数学一轮复习讲练测（山东专用）

10.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角 知识点一 空间两条直线所成的角 1.定义：经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线，这两条相交直线的夹角叫做两条异面直线所成的角 2.范围： 3.垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b． 知识点二 平面与平面所成的角 1. 如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，那么就称直线与平面垂直，记作．直线叫做平面的垂线，垂线与平面的交点叫做垂足. 2. 有关概念 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO 3.点到平面的距离 将从平面外一点P到平面的垂线段的长叫做点P到平面的距离． 4.斜线l与它在平面内的射影的夹角，叫做直线l与平面所成的角． 5.直线与平面所成角的取值范围是．900 知识点三 平面与平面所成的角 1.二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面． 2.二面角的平面角 过棱上的一点，分别在二面角的两个面内作与棱垂直的射线，以这两条射线为边的最小正角叫做二面角的平面角 3.二面角的范围 二面角取值范围是． 4.直二面角 平面角是直角的二面角叫做直二面角．例如教室的墙壁与地面就组成直二面角，此时称两个平面垂直．平面与平面垂直记作 考点1 异面直线所成的角　　 【例1】在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【解后感悟】求两异面直线所成角的一般步骤 (1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角； (2)计算角：求角度，常利用三角形； (3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角． 【变式1-1】如图，在四棱台中，正方形和的中心分别为和平面，则直线与直线所成角的正切值为（    ）    A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，PA=4，E为侧棱PC的中点，则异面直线BE与PA所成角的正切值为（    ）    A． B． C．1 D． 【变式1-3】如图，在长方体中，，，，是的中点，则异面直线与所成的角等于    考点2 点到平面的距离 【例2】如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E是棱AB的中点，则点A到平面EB1C的距离为（    ） A． B． C． D． 【解后感悟】根据定义构造垂直于平面的直线，确定垂足位置，将所求线段化归到三角形中求解 【变式2-1】已知直线l∩平面α于点O，A∈l，B∈l，A∉α，B∉α，且OA＝AB.若AC⊥平面α，垂足为C，BD⊥平面α，垂足为D，AC＝1，则BD＝(　　) A．2 B．1 C. D． 【变式2-2】三棱柱，侧棱底面，底面是边长为2的等边三角形，点E是的中点，则E到平面的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【变式2-3】如图所示，在正方体中，是的中点，若，则点到平面的距离为 . 考点3 直线与平面所成的角 【例3】已知在长方体中，，，那么直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【解后感悟】求斜线与平面所成角的步骤 (1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算； (2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角； (3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算． 【变式3-1】7．已知正方形的边长为平面，则与平面所成角是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图所示，在正方体中，直线与平面所成的角是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，在正方体中，E是的中点，则直线BE与平面ABCD所成角的正弦值为 ．    考点4 求二面角 【例4】如图.是圆的直径，，，是圆上一点(不同于，)，且，则二面角的平面角为（    ） A． B． C． D． 【解后感悟】求二面角大小的步骤 简称为“一作二证三求”． 【注意】作平面角时，要清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要，选择特殊点作平面角的顶点．