5.1.3 调和平均数(课件）-《统计基础》同步教学（武汉大学出版社）

第五章 平均指标和标志变异指标 平均指标 5.1 标志变异指标 5.2 5.1 平均指标 5.1.1 平均指标概述 5.1.2 算术平均数 5.1.3 调和平均数 5.1.4 几何平均数 5.1.5 众数 5.1.6 中位数 5.1.3 调和平均数 1．调和平均数的概念 2．调和平均数的种类 3．运用调和平均数应注意的问题 1．调和平均数的概念 又称调和平均指标，是根据标志值的倒数计算的，它是标志值倒数的算术平均数的倒数，所以，亦称为倒数平均数，用 来表示。在统计实践中，由于只有各组标志总量和各组变量值，缺乏总体单位数资料，而不能直接采用算术平均数计算，这时就需要将算术平均数的形式加以改变，按照算术平均数基本算式的需要，算出所需总体单位数，继而再计算平均数，这样就得到另一种平均数的计算方法，即调和平均数。 2．调和平均数的种类 （1）简单调和平均数 （2）加权调和平均数 （1）简单调和平均数 这种方法适用于未分组资料或资料虽分组,但各组标志总量均相等的情况。 根据上述计算，可以得出简单算术平均数的计算公式： 式中， 为调和平均数；x为各标志值；n为变量值的个数。 （2）加权调和平均数 ①加权调和平均数的计算 这种方法适用于资料已分组，且各组标志总量不相等的情况。其计算公式为： 式中，m为各组标志总量。 ②加权调和平均数与加权算术平均数的关系 a．区别：第一，加权算术平均数以x为变量，加权调和平均数则以 为变量：第二，加权算术平均数的权数是f，代表次数（单位数），而加权调和平均数的权数却是xf，代表标志总量。第三，在计算平均指标时，若缺少分子资料时，即缺少总体的标志总量，则适宜采用加权算术平均数；若缺少分母资料时，即缺少总体的单位总量，则适宜采用加权调和平均数的方法。 b．联系：两者实质上都是标志总量与总体单位数之比。加权调和平均数可以称为加权算术平均数的变形。 3．运用调和平均数应注意的问题 （1）当变量数列有一变量x为零时，调和平均数公式的分母将等于无穷大，因而无法求出一确定的平均值。 （2）调和平均数与算术平均数一样，易受极端变量值的影响。当数列存在极端大的数值时，调和平均数增大；当数列存在极端小的数值时，调和平均数减小。 （3）要注意调和平均数和算术平均数的使用条件，因事制宜。 5.1.4 几何平均数 几何平均数又称几何平均指标，是计算平均比率和平均速度最适用的一种方法,用 表示，它也有简单几何平均数和加权几何平均数之分。 它适合于各变量值之间存在环比关系的事物。例如，各年发展速度之间、流水生产线各车间的产品合格率之间、各年银行存款利率之间等，都存在这种关系。 1．简单几何平均数 简单几何平均数是n个标志值连乘积的n次方根，其计算公式为： 简单几何平均数适用于各组变量值出现的次数都为一次的情况。 2．加权几何平均数 对于分组资料 , ,…, ，若其相应的次数为 , ,…, ，则必须以指数形式给各变量值加权，然后求其平均数。其计算公式为： 综上分析，由于几何平均数是一种特殊的平均数，所以，在运用几何平均数时应注意以下问题: （1）在数列的标志中，若有一个变量数值为0，则几何平均数等于0； （2）用等比级数数列计算几何平均数不会受极端值的影响，而用环比数列计算几何平均数，则受最初水平和最末水平的影响； （3）在我国统计实务中，几何平均法主要用于计算平均发展速度，属于动态平均数，而计算静态数列时，使用较少。 5.1.5 众数 1．众数的概念 2．众数的确定 1．众数的概念 众数（ ）是指总体中出现次数最多的标志值。它能够鲜明地反映数据分布的集中趋势。它既不受极端变量值大小的影响，也不受极端变量值位置的影响。在总体单位数多且有明显集中趋势时，确定众数既方便又意义明确。如果总体单位数较少，或虽多但无明显集中趋势，就不存在众数。变量数列中有两个或几个变量值的次数都比较集中时，就可能有两个或几个众数，这时称为复众数，在实际工作中应用较为普遍，如服装、鞋帽的尺码。 2．众数的确定 （1）单项式变量数列确定众数 （2）组距式变量数列确定众数 （1）单项式变量数列确定众数 对于单项式变量数列，可以根据定义直接求出。 （2）组距式变量数列确定众数 对于组距式变量数列，应先根据定义确定众数所在的组，然后用众数的上限或下限公式求出众数的具体数值。