4.4 解直角三角形的应用2 课件 2023—2024学年湘教版数学九年级上册

第四章 锐角三角函数 4.3 解直角三角形的应用1 复习导入 解直角三角形的依据： (1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）； (2)锐角之间的关系:∠A＋∠B＝ 90°； (3)边角之间的关系:sin A= cos B=cos A= sin B= (4)面积公式：S△ABC= 在运用关系式解直角三角形时，要灵活运用上述关系的变形式。 铅直线 水平线 视线 视线 仰角 俯角 用仰角和俯角解决实际问题时，要注意两个转化： 一是把实际问题转化为解直角三角形的数学问题； 二是构造直角三角形把仰角和俯角转化为直角三角形的内角。 复习导入 探究新知 如图所示，斜坡AB和斜坡A1B1，哪一个倾斜程度比较大？ 显然，斜坡A1B1的倾斜程度比较大，说明∠A1＞∠A. 从图形可以看出 ， 即tan A1＞tan A. 4 如图， 从山脚到山顶有两条路AB与BD， 问哪条路比较陡？右边的路BD陡些．如何用数量来刻画哪条路陡呢？ 右边的BD陡些． 如何用数量来刻画哪条陡路呢？ 探究新知 坡度：如图，从山坡脚下点A上坡走到点B时，升高的高度h（即线段BC的长度）与水平前进的距离l（即线段AC的长度）的比叫作坡度，又叫坡比，用字母i表示，即 i===tan α（坡度通常写成1：m的形式） 坡角：坡面与地平面的夹角α叫坡角．即∠BAC 为坡角． 知识要点 坡度越大，山坡越陡． 分析：在直角三角形ABC中，已知了坡度即角α的正切可求出坡角α，然后用α的正弦求出对边BC的长. 例1 如图， 一山坡的坡度为i = 1∶2 . 小刚从山脚A 出发， 沿山坡向上走了240 m 到达点C. 这座山坡的坡角是多少度？ 小刚上升了多少米？ （角度精确到0.01°，长度精确到0.1 m） 典例精析 典例精析 例1 如图， 一山坡的坡度为i = 1∶2 . 小刚从山脚A 出发， 沿山坡向上走了240 m 到达点C. 这座山坡的坡角是多少度？ 小刚上升了多少米？ （角度精确到0.01°，长度精确到0.1 m） 解：用α 表示坡角的大小， 由题意可得： tanα==0.5， ∴α ≈26.57°. 如图，在Rt△ABC中，∠B =90°，∠A = 26.57°， AC =240 ， ∴sin α=得BC = 240 ×sin 26.57°≈107.3（ｍ）． 答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上升了约107.3 m． 知识要点 用坡度解决实际问题时，要注意两个转化： 一是把实际问题转化为解直角三角形的数学问题； 二是构造直角三角形把坡度转化为直角三角形的内角。 现实生活中，坡度通常写成1：m(m>0)的形式（比的前项为1，后项可以是小数). 坡度越大，则坡角α越大，坡面越陡. 当堂练习 1.一种等腰三角形坡屋顶的设计图如图所示. 已知屋顶的宽度l为10m，坡屋顶的高度h为3.5m. 求斜面AB的长度和坡角α（长度精确到0.1m，角度精确到1°）. 解：设CB中点为D ，则由图可知 D AD⊥BC. 在Rt△ABD中， AD=h=3.5m 由勾股定理得 ∴α ≈ 35° ∴BDm m 又∵tan α==0.7 典例精析 例2 如图， 一艘船以40 km/h 的速度向正东航行， 在A 处测得灯塔C 在北偏东60°方向上， 继续航行1 h到达B 处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上. 已知在灯塔C的四周30 km内有暗礁．问这艘船继续向东航行是否安全？ 北偏东是指什么角度呢？ 知识要点 指北或指南的方向线与目标方向所成的小于90°的水平角，叫作方位角.如图，目标方向线OA,OB,OC的方向角分别可以表示为北偏东30°、南偏东45°、北偏西60°. (1)方位角一般是以南北方向线为主，分南偏与北偏，其中南偏东45°习惯上又叫作东南方向，北偏东45°习惯上又叫作东北方向，北偏西45°习惯上又叫作西北方向，南偏西45°习惯上又叫作西南方向. (2)方位角都小于90°. 典例精析 例2 如图， 一艘船以40 km/h 的速度向正东航行， 在A 处测得灯塔C 在北偏东60°方向上， 继续航行1 h到达B 处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上. 已知在灯塔C的四周30 km内有暗礁．问这艘船继续向东航行是否安全？ 分析：这艘船继续向东航行是否安全，取决于灯塔C到AB航线的距离是否大于30km，如果大于30km，则安全，否则不安全。 解：作CD⊥AB， 交AB延长线于点D． 设CD = x. 在Rt△ACD中，∵tan∠CAD=， ∴AD=. 同理，在Rt△BCD中，AD=. ∵AB=AD-BD，∴=40.解得x=20 又20≈34.64>30. ∴该船能继续安全地向东航行