4.4 解直角三角形的应用1 课件 2023—2024学年湘教版数学九年级上册

第四章 锐角三角函数 4.3 解直角三角形的应用1 复习导入 解直角三角形的依据： (1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）； (2)锐角之间的关系:∠A＋∠B＝ 90°； (3)边角之间的关系:sin A= cos B=cos A= sin B= (4)面积公式：S△ABC= 在运用关系式解直角三角形时，要灵活运用上述关系的变形式。 探究新知 某探险者某天到达如图所示的点A 处时，他准备估算出离他的目的地——海拔为3500 m 的山峰顶点B处的水平距离. 他能想出一个可行的办法吗？ ． ． A B 3 探究新知 在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 铅直线 水平线 视线 视线 仰角 俯角 探究新知 分析：如图，BD表示点B的海拔，AE表示点A的海拔，AC⊥BD，垂足为点C.先测量出海拔AE，再测出仰角∠BAC，然后用锐角三角函数的知识就可以求出A、B之间的水平距离AC. 典例精析 如图，如果测得点A的海拔AE为1600m，仰角∠BAC=40°求出A，B两点之间的水平距离AC（结果保留整数）. 解：∵ BD = 3500 m， AE = 1600 m， AC⊥BD， ∠BAC = 40°， ∵在Rt△ABC中，tan∠BAC=40° ∴即AC≈2264（m） 因此，Ａ，B两点之间的水平距离AC约为2264 m. 知识要点 用仰角和俯角解决实际问题时，要注意两个转化： 一是把实际问题转化为解直角三角形的数学问题； 二是构造直角三角形把仰角和俯角转化为直角三角形的内角。 典例精析 例1 如图，在离上海东方明珠塔底部1000 m 的A 处，用仪器测得塔顶的仰角∠BAC 为25°，仪器距地面高AE为1.7 m． 求上海东方明珠塔的高度BD（结果精确到1 m）. 分析：在直角三角形中，已知一角和它的邻边，求对边利用该角的正切即可. 解：如图， 在Rt△ABC 中， ∠BAC ＝25°， AC ＝ 1000 m， ∴tan25°= ∴BC≈1000 × tan 25°≈466.3（m）． ∴BD ＝ 466.3 ＋ 1.7 ＝ 468（m）． 答： 上海东方明珠塔的高度BD为468 m. 典例精析 例2 如图，某飞机于空中A处探测到地平面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角为α，若测得飞机到目标B的距离AB约为2400米，已知sinα=0.52，求飞机飞行的高度AC约为多少米？ 解：如图，由题意得：∠B=∠α，∠C=90°． ∴sin B=sin α≈0.52． ∵sin B=， ∴AC=AB•sin B=2400×0.52=1248（米）． 答：飞机飞行的高度约为1248米． 当堂练习 1.热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)？ 分析：在Rt△ABD中，α=30°，AD=120.所以可以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC. 1.热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)？ 当堂练习 解：如图，α=30°，β=60°，AD=120. ∴BD=AD·tanα=120×tan30°= CD=AD·tanβ=120×tan60° ∴BC=BD+CD 答：这栋高楼约高277.1m. ， 当堂练习 2.如图，一艘游船在离开码头A后，以和河岸成 30°角的方向行驶了500m到达B处，求B处与河岸的距离. 解：如图，从点B作河岸线(看成直线段)的垂线，垂足为C， 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=500m. ∵BC是∠A的对边，AB是斜边， ∴BC=500×sin30°=250（m）. 答：B处与河岸的距离约为250m． ∴sin 30°= 当堂练习 3.如图，某厂家新开发的一种电动车的大灯A射出的光线AB，AC与地面MN所形成的夹角∠ABN，∠ACN分别为8°和15°，大灯A与地面的距离为1m，求该车大灯照亮地面的宽度BC（不考虑其他因素，结果精确到0.1m）． 解：作AD⊥MN，垂足于D. 如图，在Rt△ABD中，∠ABD =8°，AD =1m， ∴tan∠ ABD= ∴BD=≈7.12m 同理CD≈3.73 m. ∴ BC=BD-CD≈3.4m. 课堂小结 铅直线 水平线 视线 视线 仰角 俯角 用仰角和俯角解决实际问题时，要注意两个转化： 一是把实际问题转化为解直角三角形的数学问题； 二是构造直角三角形把