3.2双曲线 讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

课题：双曲线 知识点1 1．双曲线定义：到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F1F2|）的点的轨迹．（（为常数）．这两个定点叫双曲线的焦点．【（1）距离之差的绝对值． （2）2a＜|F1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同】 2．双曲线的标准方程：（焦点在x轴上）和（焦点在y轴上）（a＞0，b＞0）． 这里，其中||=2c．要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同． 标准方程 －＝1（a>0，b>0） －＝1（a>0，b>0） 图形 3．双曲线的内外部：（1）点在双曲线的内部． （2）点在双曲线的外部． （3）（，其中||=2c，焦点位置看谁的系数为正数）焦点在x轴上：（a＞0，b＞0）；焦点在y轴上：（a＞0，b＞0）；焦点不确定时：；） ( P P H H F 2 x F 1 o y )知识点2 双曲线第二定义：当动点M（x，y） 到一定点F（c，0）的距离和它到一定直线的距离之比是常数时，这个动点M（x，y）的轨迹是双曲线．其中定点F（c，0）是双曲线的一个焦点，定直线叫双曲线的一条准线，常数e是双曲线的离心率．双曲线上任一点到焦点的线段称为焦半径． 知识点3 1．双曲线的简单几何性质：－=1（a＞0，b＞0） （1）范围：|x|≥a，y∈R； （2）对称性：关于x、y轴均对称，关于原点中心对称； （3）顶点：轴端点A1（－a，0），A2（a，0） （4）渐近线： ①若双曲线方程为渐近线方程； ②若渐近线方程为双曲线可设为； ③若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）；④与双曲线共渐近线的双曲线系方程是； ⑤与双曲线共焦点的双曲线系方程是 双曲线的标准方程 －＝1（a>0，b>0） －＝1（a>0，b>0） 性质] 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴　对称中心：原点 顶点 A1（－a,0），A2（a,0） A1（0，－a），A2（0，a） 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈（1，＋∞），其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长． a、b、c的关系 c2＝a2＋b2（c>a>0，c>b>0） 2．弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则＝，若分别为A、B的纵坐标，则＝． 【注1】 1．（1）当|MF1|－|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支； （2）当|MF1|－|MF2|=－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支； （3）当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线； （4）当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在． 2．双曲线的标准方程判别方法是：如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果项的系数是正数，则焦点在y轴上．对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上． 3．求双曲线的标准方程，应注意两个问题：（1）正确判断焦点的位置；（2）设出标准方程后，运用待定系数法求解． 【注2】 1．双曲线的轨迹类型是； 2．双曲线标准方程的求解方法是”待定系数法”，“先定型，后计算”． 【注3】 1．与双曲线共渐进线（）的双曲线系方程是 2．等轴双曲线：（实虚轴相等，即a=b） （1）形式：（）（2）离心率（3）两渐近线互相垂直，为y=； 3．等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项． 4．共轭双曲线：（以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线） 性质：（1）有共同的渐近线；（2）共轭双曲线的四个焦点共圆（3）离心率倒数的平方和等于1． 【注4】 1．双曲线的标准方程中对a、b的要求只是a＞0，b＞0易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同． 若a＞b＞0，则双曲线的离心率e∈（1，）； 若a＝b＞0，则双曲线的离心率e＝； 若0＜a＜b，则双曲线的离心率e＞． 2．注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a、b、c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2． 3．等轴双曲线的离心率与渐近线关系：双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝⇔双曲线的两条渐近线互相垂直（位置关系）． 4．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b 5．渐近线与离心率：－＝1（a>0，b>0）的一条渐近线的斜率为＝ ＝ ＝．可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小． 典型例题 例1在一个平面上，设、是两个定点，P是一个动点，且满足P到的距离与P到的距离差