数列知识梳理知识清单-2024届高三数学一轮复习

数列知识梳理 一、数列的概念与通项公式 1．数列的定义 按照 排列的一列数称为数列，数列中的 叫做这个数列的项．一般记为数列{an}. 对数列概念的理解：(1)一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列． (2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别． 2．数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数 无穷数列 项数 项与项间的大小关系 递增数列 an＋1 an 其中n∈N* 递减数列 an＋1 an 常数列 an＋1 an 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 3．数列是一种特殊的函数 数列是一种特殊的函数，其定义域是 或它的有限子集 .所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一群孤立的点. 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法. 在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性． 4.数列的通项公式： (1)通项公式：如果数列{an}的第n项an与 之间的关系可以用一个式子an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 不是每一个数列都有通项公式，也不是每一个数列都只有一个个通项公式. (2)递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 5．数列的前n项和 (1)表示：在数列{an}中，Sn＝ 叫做数列的前n项和． (2)an与Sn的关系：若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝ 注意验证是否包含在后面的公式中,若不符合要单独列出. 二、等差数列的有关概念与性质 1．等差数列的定义：如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的差等于 ，这个数列叫做等差数列. 定义表达式为① ， ② 。 2．等差数列的通项公式：= = 。 当d≠0时，是关于n的一次式；当d=0时，是一个常数。 说明：等差数列的单调性：为 数列， 为 数列， 为常数列， 3．等差中项：如果在a、b中间插入一个数A，使a、A、b成等差数列，则A叫a、b的等差中项． 。 4．等差数列的前n项和公式： ， =。 当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=n是关于n的正比例式。 5．怎样证明一个数列是等差数列 （1）利用定义 ；（2）利用等差中项 ； 判定一个数列是等差数列还常用到结论： (1)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列. (2)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列. 6.等差数列的性质： （1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列，如：，，，，……； ，，，，……； （3）三个数成等差的设法： ；四个数成等差的设法： 。 （4）在等差数列中，对任意，，， ； （5）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等差中项. （6）、是等差数列,则(、是非零常数)是等差数列； （7）两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数． 7．设数列是等差数列，且公差为，和Sn的性质 （1）若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列. （2）等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即 仍是等差数列； （3）等差数列,当项数为偶数时,,，S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； 当项数为奇数时, ，,且； 若等差数列、的前n项和分别是,则. （4）若,则,. （5）等差数列的增减性：时为递增数列，且当时前n项和有最小值． 时为递减数列，且当时前n项和有最大值． 最大(或最小)问题,转化为解不等式(或). 也可用的二次函数关系来分析.