4.3.3 余角和补角-2023-2024学年七年级数学上册同步讲义+强化训练堂堂清（人教版）

七年级数学上分层优化堂堂清 第四章 几何图形初步 4.3.3 余角和补角 学习目标： 1.了解余角、补角的概念. 2.掌握余角和补角的性质，并能利用余角、补角的知识解决相关问题. 3.了解方位角的概念，初步掌握方位角的判别；并能用方位角知识解决一些简单的实际问题. 重点：认识角的互余、互补关系及其性质. 难点：通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质. 老师对你说： 知识点一 、余角与补角 定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． 知识点二 、余角与补角的性质 2．性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等． 注意： (1) 互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关． 一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°． 知识点三 、方位角 从某点的指北（或指南）方向线起与方向到目标方向线之间的水平夹的锐角,叫方位角。 基础提升 教材核心知识点精练 【考点1】 余角与补角 【例1-1】下列说法中正确的是（    ） A．一个锐角的余角比这个锐角的补角小90° B．如果一个角有补角，那么这个角必是钝角 C．如果，则，，互为余角 D．如果与互为余角，与互为余角，那么与也互为余角 【例1-2】下列判断正确的个数是(     ) ①锐角的补角一定是钝角；②一个角的补角一定大于这个角；③锐角和钝角互补；④如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【例1-3】下列关于余角、补角的说法，正确的是（       ） A．若∠α＋∠β＝90°，则∠α与∠β互余 B．若∠1＋∠2＝90°，则∠1 与∠2 互补 C．若∠1＋∠2＋∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3 互余 D．若∠α＋∠β＋∠γ＝180°，则∠α，∠β，∠γ互补 【考点2】 求一个角的余角与补角 【例2-1】已知∠A＝72°25′，则∠A的补角度数为（　　） A．108°25′ B．17°35′ C．108°35′ D．107°35′ 【例2-2】一个角等于它的余角，则这个角的补角为 　 　． 【例2-3】一个角的余角比它的补角的一半还小10度，求这个角． 【考点3】 余角补角的性质 【例3-1】如图，∠AOB＝∠COD＝90°． （1）∠AOC与∠BOD相等吗？请说明理由； （2）若∠BOD＝150°，射线OE平分∠AOC，则∠DOE等于多少度？ 【例3-2】如图，将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起． (1)判断大小关系：∠AOD______∠BOC(填＞、=、＜等) (2)若 ∠BOD=35°，则∠AOC=  ；若∠AOC=135°，则∠BOD=  ； (3)猜想 ∠AOC与∠BOD的数量关系，并说明理由． 【考点4】 方向角 【例4-1】如图，海上有两艘军舰和，由测得的方向是(    ) A．北偏西 B．北偏西 C．南偏东 D．南偏东 【例4-2】如图，点B在点A的(    )方向． A．北偏东35° B．北偏东55° C．北偏西35° D．北偏西55° 【例4-3】如图所示，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它的南偏东60º的方向上．同时，在它的北偏西30º发现了客轮B，西北方向上又发现了海岛C． (1)仿照表示灯塔方位的方法，在图中画出表示客轮B和海岛C方向的射线； (2)在(1)的条件下求∠BOC，∠BOE的大小． 能力强化提升训练 1.将两个直角三角尺的顶点O叠放在一起 （1）如图（1）若∠BOD=35°，则∠AOC=___；若∠AOC=135°，则∠BOD=___； （2）如图（2）若∠AOC=140°，则∠BOD=___； （3）猜想∠AOC与∠BOD的大小关系，并结合图（1）说明理由． 2 .O是直线AB上一点在同一平面内直线，AB的同侧有∠AOD＝∠DOB＝∠COE＝90°． (1)请画出题设的图形，并分别写出∠COD的余角，∠AOC的补角； (2)写出图中相等的锐角，并说明理由? 3 .如图，已知∠AOB＝140°，∠COE与∠EOD互余，OE平分∠AOD． （1）若∠COE＝40°，求∠DOE和∠BOD； （2）设∠COE＝α，∠BOD＝β，试探究α与β之间的数量关系． 堂堂清 1、 选择题（每小题4分，共32分） 1．如图，点A位于点O的（    ） A．南偏东方向上 B．北