广东省湛江市第二十一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

2023-2024学年第一学期高二级期中考试数学 考试时间：120分钟 满分：150 一、单选题(每题5分，共40分) 1. 已知集合，，则( ) A. B. C. D. 2. 已知复数，则 ( ) A. - B. C. D. 3. 若、是互斥事件,, , 则 ( ) A. B. C. D. 4. 直线与的方向向量分别为和，则与的位置关系是( ) A. 平行 B. 垂直 C. 相交 D. 重合 5. 已知是空间的一个基底,若,,则( ) A. 是空间的一个基底 B. 是空间的一个基底 C. 是空间的一个基底 D. ,与,,中的任何一个都不能构成空间的一个基底 6. 下列命题正确的是( ) A. 零向量没有方向 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 7. 已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为( ). A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，矩形的三个顶点坐标分别为，，，将矩形折叠，使点落在线段上，设折痕所在直线的斜率为，则的取值范围为( ) A. B. C. D. 二、多选题（每题5分，多选0分，少选2分，共20分） 9. 如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，则下列向量中，不能作为平面的法向量的是( ) A. B. C. D. 10. 下列说法正确的有( ) A. 若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限 B. 直线必过定点 C. 直线与直线的距离为 D. 斜率为，且在轴上的截距为的直线方程为 11. 以下关于圆：的命题不正确的有( ) A. 点在圆内 B. 直线与圆相切 C. 点在圆上 D. 直线与圆相切 12. 在三棱锥A-BCD中， , A-BC-D是直二面角，DC=2BD, AB=AC,如图所示，则下列结论中正确的是( ) A. B. 平面的法向量与平面的法向量垂直 C. 异面直线与所成的角为 D. 直线与平面所成的角为 三、填空题（每题5分，共20分） 13. 记圆的圆心坐标为，半径为，则____． 14. 正方体的棱长为,,分别是,的中点,则点到平面的距离为____. 15. 如图所示，在正四面体中，，分别为， 的中点，则与所成角的余弦值为____. 16. 已知A（-3，0），B（3，0），点P在圆（x-3）2+（y-4）2=4上运动，则|PA|2+|PB|2的最小值是____． 四、解答题（共70分） 17（10分）. 已知直线过点，根据下列条件分别求出直线的方程： (1) 直线的倾斜角为； (2)直线 与直线垂直． (3)直线 与直线平行. 18.（12分） 在长方体中，底面为正方形，，，为中点，为中点. (1)求证：； (2)求与平面成角的余弦值. 19.（12分） 已知过，，三点. (1)求的标准方程； (2)直线：与相交于，两点，求的面积（为圆心）. 20.（12分） 在中，角，，所对的边分别为，，，且满足. (1)求角； (2)若，求面积的最大值. 21. （12分）为了抗击新冠肺炎疫情,普及防护知识,某校开展了"疫情防护网络知识竞赛"活动,现从参加该竞赛的学生中随机抽取了名,统计他们的成绩(满分分),其中成绩不低于分的学生被评为"疫情防护达人",将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)若该中学参加这次竞赛的共有名学生, 试估计全校这次竞赛中"疫情防护达人"的人数; (2)估计参加这次竞赛的学生成绩的分位数; (3)若在抽取的名学生中,利用分层随机抽样 的方法从成绩不低于分的学生中随机抽 取人,则从成绩在,,内的 学生中分别抽取了多少人? 22. （12分）在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，，，是的中点. (1)证明：平面； (2)设是直线上的动点，当点到平面距离最大时， 求面与面所成二面角的正弦值. 1/2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年第一学期高二级期中考试数学 答案和解析 1.D 2.D 3.A 4.A 5.C 6.C 7.B 8. D 9. ACD 10. AB 11. ACD 12. AD 13. 14. 15. 16. 36 3. 【解析】,是互斥事件,,, .故选. 5. 【解析】本题主要考查基底的性质.显然,错误;对于,假设不是空间的一个基底,即,则,这与是空间的一个基底矛盾,故是空间的一个基底,故正确,错误.故选. 7. 【解析】如图，以为空间直角坐标系原点，建立空间直角坐标系， 因为，， 所以 故，. 设与所成角为， 则. 故选：B 8. 【解析】由题意知，点的坐标为，当折叠