二次函数综合题中有关几何问题的解题方法-【中考123】2024年中考一轮总复习数学精讲本（辽宁专版）

五、旋转图形中辅助线的作法 1.对于旋转的有关题目，什么时候需要构造旋转，怎么构造旋转.下 面，就不同类型的旋转问题，给出构造旋转图形的解题方法： 遇中点，旋180°，构造中心对称： 遇90°，旋90°，构造垂直； 遇60°，旋60°，构造等边； 遇等腰，旋顶角， 综合以上四点得出旋转的本质特征：等线段，共顶点，就可以有 旋转 2.图形旋转后我们需要证明旋转全等，而旋转全等中的难点实际上 是倒角，下面给出旋转常用倒角，只要是旋转，必然存在这两个倒角 之一 提示：倒角是在初中数学学习中常用的名词，其意思就是通过 角之间的等量关系，得到我们所需要的角的关系的过程 如图①，若∠AOB=∠COD,必有∠AOC=∠BOD,反之亦然， 如图②，若∠A=∠D,必有∠B=∠C. 图① 图② 二次函数综合题中有关儿何问题的解题方法 1.面积最值的存在性问题 (1)确定所求三角形或四边形面积最值，首先可设动点的运动 时间t或动点的坐标(t,at2+bt+c): (2)①求三角形面积最值时要用含t的代数式表示出三角形的 底和高，当三角形的底和高可用坐标转化为线段直接表示时，则直 26 接表示出来：若不能直接由坐标转化时，就先证明设计底和高的三 角形与已知线段长度的三角形相似，从而求得用含t的代数式表示 的底和高： ②求四边形的面积最值时，常用到的方法是利用割补法将四边 形分成两个三角形，从而利用三角形的方法求得用含t的代数式表 示的线段； (3)用含有未知数的代数式表示出图形的面积： (4)用二次函数的增减性求出最大值或最小值. 2.面积等量关系的存在性 解题前需认真审题，仔细分析题图及动点的运动情况，分析图 中的关键点的作用.一般解题步骤如下： (1)弄清自变量取值范围，画出符合条件的图形； (2)确定其存在的情况有几种，然后分别求解，在求解中一般 由函数关系式设出图形中的动点坐标并结合作辅助线画出所求面 积为定值的三角形； (3)过动点作有关三角形的高或平行于y轴、x轴的辅助线，利 用面积公式或三角形相似求出有关线段长度或面积的代数式，列方 程求解，最后根据实际问题取舍答案， 3.线段最值的求解 线段和、图形周长的最小值或线段差的最大值等问题的解决思 路就是“两点之间，线段最短”，常用的作辅助线方法就是依据“将 军饮马问题”，即已知一条直线和直线同旁的两个点，要在直线上 找一点，使得这两个点与这点连接的线段之和最小，解决问题的方 法就是通过轴对称作出对称点来解决， 4.直角三角形的存在性 (1)先假设结论成立，根据直角顶点的不确定性分类讨论； (2)所给定长未说明是直角三角形的斜边还是直角边时分情 27 况讨论： ①当定长为直角三角形的直角边时，分别以定长的某一端点作 定长的垂线，与坐标轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件 的点； ②当定长为直角三角形的斜边时，以此定长为直径作圆，圆弧 与满足条件的坐标轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件 的点： (3)计算 把图形中的点的坐标用含有自变量的代数式表示出来，从而表 示出三角形的各条边，再利用三角形的相似关系得出比例式，或者 用勾股定理进行计算，亦可利用三角函数建立方程求解未知量， 5.等腰三角形的存在性 (1)假设结论成立； (2)找点：当所给定长未说明是等腰三角形的底还是腰时，需 分情况讨论： ①当定长为腰时，找已知直线或抛物线上满足条件的点时，以 定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧，若所画弧与坐标轴或 抛物线有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为符合条件 的点； ②当定长为底边时，根据尺规作图作出定长的垂直平分线，若 作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线有交点，则交点即为所求的 点，若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线无交点，则满足条件的 点不存在； (3)计算 在求点的坐标时，大多时候利用相似三角形求解，如果图形中 没有相似三角形，可以通过添加辅助线构造直角三角形，有时也可 利用直角三角形的性质进行求解. 28 6.相似三角形的存在性 相似三角形的存在性问题，要考虑分类讨论思想以及数形结合 思想的运用，一般的解题思路如下： (1)假设结论成立，分情况讨论，探究三角形相似时，往往没有 明确指出两个三角形的对应点，或者涉及动点时，因为动点问题中 点的位置不确定，因此需分情况讨论： (2)确定分类标准：分类时，要先找出分类的标准，看两个相似 三角形是否有对应相等的角，若有，找出对应相等的角后再根据其 他角进行分类讨论：若没有，则分别按三种角对应相等来分类讨论； (3)建立关系式并计算.由相似三角形列出相应的比例式，将比例 式中的线段用所设点的坐标表示出来（多借助勾股定理完成运算），整 理可得一元一次方程或一元二次方程，解方程可得字母值，再通过计算 得出相应点的坐标 7.平行四边形的存在性