[中学联盟]山东省高密市立新中学青岛版九年级数学上册课件：3.4 直线与圆的位置关系（2份）

高密市中学 王桂梅 2个 交点 割线 1个 切点 切线 d < r d = r d > r 没有 直线与圆的 位置关系 相交 相切 相离 图 形 公共点个数 公共点名称 直线名称 圆心到直线距离d与半径r的关系 图中直线l满足什么条件时是⊙O的切线？ l 方法1：直线与圆有唯一公共点 方法2：直线到圆心的距离等于半径 注意：实际证明过程中，通常不采用第一种方法;方法2从“量化”的角度说明圆的切线的判定方法。 O 请在⊙O上任意取一点A，连接OA，过点A作直线l⊥OA。思考： （1） 圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么数量关系? （2） 二者位置有什么关系？为什么？ （3） 由此你发现了什么？ l O A (1)直线l经过半径OA的外端点A； (2)直线l垂直于半径0A． 则:直线l与⊙O相切 这样我们就得到了从“位置”的角度圆的切线的判定方法——切线的判定定理． A O l 切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。 对定理的理解： 切线必须同时满足两条：①经过半径外端；②垂直于这条半径． A O l O r l A ∵ OA是半径， l ⊥OA于A ∴ l是⊙O的切线 定理的数学语言表达： 1、判断： (1)过半径的外端的直线是圆的切线（ ） (2)与半径垂直的的直线是圆的切线（ ） (3)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ） × × × O r l A O r l A O r l A 判定直线与圆相切有哪些方法？ 切线的判定方法有三种： ①直线与圆有唯一公共点； ②直线到圆心的距离等于该圆的半径； ③切线的判定定理．即 经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线. 例1 如图，已知：直线AB经过⊙O上的点C， 并且OA=OB，CA=CB。 求证：直线AB是⊙O的切线。 O B A C 分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可。 例2 如图，已知：O为∠BAC平分线上一 点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作 ⊙O。 求证：⊙O与AC相切。 O A B C E D 例1与例2的证法有何不同? (1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直.简记为：有交点，连半径,证垂直. (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段,再证垂线段长等于半径长.简记为：无交点,作垂直,证半径. O B A C O A B C E D 2、如图,△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于O，OE⊥AC于E,以O为圆心,OE为半径作⊙O. 求证：AB是⊙O的切线. F E C O B A 3、如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,点C在⊙O上, ∠CAB=30°. 求证:DC是⊙O的切线. A B C D O 如图，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？ O A l ∵ l是⊙O的切线，切点为A ∴ l ⊥OA 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 O A l ①过半径外端; ②垂直于这条半径. 切线 ①圆的切线; ②过切点的半径. 切线垂直于半径 切线判定定理： 切线性质定理： O A l 1、如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径多少？ 注：已知切线、切点，则连接半径，应用切线的性质定理得到垂直关系，从而应用勾股定理计算。 2、如图，AB、AC分别切⊙O于B、C，若∠A=600，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是（ ） A、600 B、1200 C、600或1200 D、1400或600 B P C A O 1、知识：切线的判定定理．着重分析了定理成立的条件，在应用定理时，注重两个条件缺一不可． 2、方法：判定一条直线是圆的切线的三种方法： (1) 根据切线定义判定．即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线. (2)根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线． (3)根据切线的判定定理来判定． 其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不同．解题时，灵活选用其中之一． 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 O A l $$ 直线和圆的位置关系 立新中学 王桂梅 点