5.3.1 等比数列-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册随堂练习（人教B版）

5. 3　 等比数列 5. 3. 1　 等比数列 1. 如果-1, a, b, c, -9 成等比数列, 那么 (　 　 ) A. b= 3, ac= 9 B. b= -3, ac= 9 C. b= 3, ac= -9 D. b= -3, ac= -9 2. 已知数列{an}的首项 a1 = 3, 通项 an = 2np+nq(n∈N∗, p, q 为常数), 且 a1, a4, a5 成等差数列, 则 p, q 的值分别 为　 　 　 　 . 3. 已知等比数列{an}的各项均为正数, 且 a5 = 3, 则 4a7 +a3 的最小值为　 　 　 　 . 4. 等比数列 {an} 的首项 a1 = 1 002, 公比 q= 1 2 , 记 Pn =a1· a2·…·an, 则 Pn 达到最大值时, n 的值为 (　 　 ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 5. 在各项均为正数的等比数列 {an} 中, 若 a2 = 1, a8 = a6 + 2a4, 则 a6 的值是 (　 　 ) A. 2 2 B. 4 C. 4 2 D. 8 6. 已知等比数列{an}中, a1+a2 = 1 2 , a1-a3 = 3 4 , 则 a4 = (　 　 ) A. - 1 8 B. 1 8 C. -4 D. 4 9 7. 某工厂 2020 年 1 月的生产总值为 a 万元, 计划从 2020 年 2 月起, 每月生产总值比上一个月增长 m%, 那么到 2021 年 8 月底该厂的生产总值为多少万元? 01 bn =(b1 +b2 +…+bn)-2(b1 +b2 +b3 +b4)= Sn-2S4 = 5 2 n2 - 37 2 n+68. 故 Tn = - 5 2 n 2 + 37 2 n, 1≤n≤4, 5 2 n 2 - 37 2 n +68, n≥5. ì î í ï ï ï ï 14. (1) 解: 由 a2n+2an = 4Sn +3, 可知 a2n+1 +2an+1 = 4Sn+1 +3, 两式相减得 a2n+1 -a2n+2(an+1 -an)= 4an+1 , 即 2(an+1 +an)= a2n+1 -a2n = (an+1 +an)(an+1 -an) . ∵ an > 0, ∴ an+1 -an = 2. ∵ a21 + 2a1 = 4a1 + 3, ∴ a1 = - 1 (舍)或 a1 = 3, 则{an }是首项为 3, 公差 d = 2 的等差数列, ∴ {an}的通项公式 an = 3+2(n-1)= 2n+1. (2) 证明: ∵ an = 2n+1, ∴ bn = 1 anan+1 = 1 (2n+1)(2n+3) = 1 2 1 2n+1 - 1 2n+3( ) , ∴ 数 列 { bn } 的 前 n 项 和 Tn = 1 2 1 3 - 1 5 + 1 5 - 1 7 +…+ 1 2n+1 - 1 2n+3( ) = 1 2 1 3 - 1 2n+3( ) = 1 6 - 1 4n+6 . 当 n ≥ 2 时, Tn - Tn-1 = 1 6 - 1 4n+6( ) - 1 6 - 1 4n+2( ) = 4 (4n+6)(4n+2) = 1 (2n+1)(2n+3) >0, ∴ 数列{Tn}为递增数列, ∴ Tn ≥T1 = 1 15 . 又∵ 1 4n+6 >0, ∴ Tn< 1 6 , 故 1 15 ≤Tn< 1 6 . 5. 3　等比数列 5. 3. 1　等比数列 变式训练 1　 D　 【解析】 由等比数列定义可判断 D 正确. 变式训练 2　 4　 【解析】 由题可知(a+2) 2 = 2(a2 +a-2), ∴ a= 4 或 a= -2(舍), 综上有 a= 4. 变式训练 3　 解: (1) 设公比为 q, 则 a15 a5 = a1q14 a1q4 = q10 = 10 40 = 1 4 , 则 q5 = 1 2 或- 1 2 , ∴ a20 =a15q5 = 5 或-5. (2) 由通项公式有 an = 9 8 × 2 3( ) n-1 = 1 3 , ∴ 2 3( ) n-1 = 8 27 = 2 3( ) 3 , ∴ n-1 = 3, 即 n= 4. 变式训练 4　 (1) C　 (2) 6 【解析】 (1) ∵ a3a11 = 16, ∴ a27 = 16. 又∵ an>0, ∴ a7 = 4, ∴ a16 = a7q9 = 32, 即 log2a16 = 5. 故选 C. (2) ∵ {an}是等比数列, ∴ a1a7 =a24 , a2a8 =a25 , a3a9 =a26 . ∴ a24 ·a25 ·a26 = (a1a7 )·(a2a8 )·(a3a