5.3.1 等比数列-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

5. 3　 等比数列 5. 3. 1　等比数列 1. 能叙述等比数列和等比中项定义, 能 够应用定义判断一个数列是否为等比数列. 2. 探索并记忆等比数列的通项公式, 能够应用它解决等比数列的问题. 3. 能在具体问题情境中发现等比数列 的关系, 并能用有关知识解决相应的问题. 　 要点 1　 应用定义判断一个数列是否为 　 等比数列 主要体现在以下几个方面: (1) 在等比数列中, 从第二项起后一 项与前一项的比值为定值; (2) 等比数列的项不为零. 例 1　 判断下列数列是否为等比数列. (1) 数列 1, 2, 6, 18, 54, …; (2) 数列{an}中, 已知 a2 a1 = 2, a3 a2 = 2; (3) 常数列 a, a, a, a, …, a, …. 解: (1) 2 1 ≠ 6 2 , ∴ 不是等比数列. (2) 不一定是, 当{ an } 中只有三项时 是等比数列, 当{an}的项数超过 3 时, 就不 一定是等比数列了. (3) 不一定是, 当 a 为 0 时不是等比数 列, 当 a 不为 0 时, 是等比数列. 下列各组数能构成等比数列的是 (　 　 ) A. 1 3 , 1 6 , 1 18 B. lg3, lg6, lg27 C. 2, 0, 0 D. 3, -3 3 , 9 　 要点 2　 等比中项的定义 1. 等比中项的定义: 如果 x, G, y 是 等比数列, 那么称 G 为 x 与 y 的等比中项. 2. 两个正数(或两个负数)的等比中项 有两个, 它们互为相反数. 一个正数和一个 负数没有等比中项. 例 2　 两 个 数 2 , 4 的 等 比 中 项 是 　 　 　 　 . 解析: 设两个数的等比中项是 x, 则 x2 = 2×4, ∴ x= ±2 2 . 若 2, a+2, a2 +a-2 成等比数列, 则 a = 　 　 　 　 . 　 要点 3　 能够应用等比数列通项公式解决 　 相关的问题 主要体现在以下几个方面: (1) 给出通项公式会判断该数列为等 比数列; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 19 (2) 能根据等比数列通项公式 an = a1qn -1 求出首项和公比. 例 3　 若数列{an}的通项公式为 an = 5× 2n, 这个数列是等比数列吗? 如果是, 求出 首项 a1 和公比 q. 解: 由题意有 an+1 = 5 × 2n +1, 则 an+1 an = 5×2n+1 5×2n = 2, ∴ { an } 是等比数列, 且 q = 2. 当 n= 1 时, a1 = 5×2 = 10. (1) 已知等比数列 { an } 中, a5 = 40, a15 = 10, 求 a20; (2) 若等比数列的首项为 9 8 , 末项为 1 3 , 公比为 2 3 , 求这个数列的项数. 　 要点 4　 等比数列的性质 设数列 {an} 为等比数列, 则: (1) 若 k+ l = m+n( k, l, m, n∈N+ ), 则 ak·al =am·an; (2) 若 m, p, n 成等差数列, 则 am, ap, an 成等比数列. 例 4　 已知{an}为等比数列. (1) 若 a2a4 = 1 2 , 求 a1a23a5; (2) 若 an > 0, a3a9 + 2a6a9 +a6a12 = 49, 求 a6 +a9; ( 3 ) 若 an > 0, a4a7 = 9, 求 log3a1 + log3a2 +…+log3a10 的值. 解: (1) 在等比数列{an} 中, ∵ a2a4 = 1 2 , ∴ a23 =a1a5 =a2a4 = 1 2 , ∴ a1a23a5 = 1 4 . (2) 由等比中项, 化简条件得(a6 ) 2 + 2a6a9 +(a9) 2 = 49, 即(a6 +a9) 2 = 49, ∵ an>0, ∴ a6 +a9 = 7. (3) 由等比数列的性质知 a4a7 = a1a10 = a2a9 =a3a8 =a5a6 = 9, ∴ log3a1 +log3a2 +…+log3a10 = log3(a1a2 … a10) = log3 [( a1a10 ) ( a2a9 ) ( a3a8 ) ( a4a7