4.6-4.8相似三角形的性质与应用（含位似）-【高效导学】2023-2024学年九年级数学上册同步题型讲与练（北师大版）

4.6-4.8相似三角形的性质与应用（含位似） 导图先学 边讲边练 1．相似三角形的性质 （1）相似三角形具备相似多边形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例． （2）相似三角形对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线）的比等于相似比． （3）相似三角形周长的比等于相似比． （4）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 题型1：利用相似三角形的性质求线段的长度 【例】（2023秋•合浦县期中）如图，已知点、分别是、边上的点，且，相似比为，交于点，则　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•霍邱县期中）如图，是的对角线，，，点是的中点，点、分别是线段、上的动点，若，且 是等腰三角形，则的长为　　 A．或 B．或 C．或 D．或 【变式2】（2023秋•大名县校级月考）已知，，，，则　　 A．6 B．4 C．3 D．2 题型2：利用相似三角形的性质求线段的周长 【例】（2022秋•茂南区期末）已知，．则它们的周长比为　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•霍邱县期中）已知两个相似三角形的相似比为，则它们的周长的比为　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023秋•宜兴市月考）如果两个相似三角形对应边之比是，那么它们的周长之比是　　 A． B． C． D． 【变式3】（2023•海宁市校级一模）两个相似三角形的面积之比为，较小的三角形的周长为4，则另一个三角形的周长为　　 A．16 B．8 C．2 D．1 题型3：利用相似三角形的性质求线段的面积 【例】（2023秋•大名县校级月考）如图，有一锐角为的三角尺，它的内外两个三角形是相似的．三角尺的斜边长为，其内部三角形的最短边长为，则这个三角尺内外两个三角形的面积比为　　 A． B． C． D． 【变式1】（2022秋•宜宾期末）将放大到2倍，得到△，则与△的面积比是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2022秋•昌图县期末）已知两个相似三角形的相似比是，那么它们的面积比是　　 A． B． C． D． 【变式3】（2023•秀屿区校级开学）已知，且，，若的面积为20，则的面积为　　 A．5 B．40 C．80 D．无法计算 题形4：相似三角形性质的画法 【例】（2023秋•雁塔区校级期中）如图，在中，，点在上．求作：，使点在上，且（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【变式1】（2023秋•雁塔区校级期中）如图，在中，，请用尺规作图法，在射线上求作一点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式2】（2023•陕西模拟）如图，在等腰中，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 2．相似三角形应用举例 相似三角形的实际应用主要包括： （1）利用相似三角形的性质测量不能直接到达的河的宽度； （2）利用相似三角形的性质计算不能直接测量的物体的高度． 题型：相似三角形的应用 【例】（2023秋•济阳区期中）如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，边与点在同一直线上．已知直角三角纸板中，，测得眼睛离地面的高度为，他与“步云阁”的水平距离为，则“步云阁”的高度是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•龙岗区期中）如图，利用标杆测量建筑物的高度．如果标杆高，测得，，则楼高是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023秋•海曙区校级期中）为了测量河宽，有如下方法：如图，取一根标尺横放，使，并使点，，和点，，分别在同一条直线上，量得米，米，米，则河宽的长度为　　米． A．24 B．30 C．32 D．40 【变式3】（2023秋•市北区期中）如图，某数学兴趣小组为了测量一凉亭的高度，他们采取了如下办法：①在凉亭的右边点处放置了一平面镜，并测得米；②沿着直线后退到点处，眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端，并测得米，眼睛到地面的距离米（此时，那么凉亭的高为　　 A．6.3米 B．6.4米 C．6.5米 D．6.6米 【变式4】（2023•婺城区模拟）图1是一款自动关门器，其示意图如图2所示．固定铁架的宽，支点，分别固定在墙面和铁门上，，，摇臂，连杆，点、、、、在同一平面内．关门器工作时，点绕点转动，摇臂与连杆长度均固定不变．当铁门完全关闭时（如图，点、、在同一直线上，．在开门的过程中，当端点落在墙面上或连杆落在上，都无法将门进一步打开，称此时为开门的极限状态． （1）　 　． （2）为使在开门的极限状态下，连杆落在上，则门宽的最大值为 　　． 3．位似图形 （1）如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． （2）位似图形一定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形． （3）位似图形具