(教参)1.4 空间向量的应用-【精彩三年】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册课程探究与巩固教师用书word+课件PPT（人教A版，浙江专用）

1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 3．空间中直线、平面的垂直 [课程目标] 1.能利用平面的法向量证明线面和面面垂直.2.能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系． (见学生用书P23) 知识点　空间中直线、平面的垂直 1．空间中有关垂直的向量关系 一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量__垂直__；直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量__平行__；平面与平面垂直，就是两平面的法向量__垂直__． 2．空间中垂直关系的向量表示 线线 垂直 设直线l1的方向向量为u＝(a1，a2，a3)，直线l2的方向向量为v＝(b1，b2，b3)，则l1⊥l2⇔__u⊥v__⇔__u·v＝0__⇔__a1b1＋a2b2＋a3b3＝0__ 线面 垂直 设直线l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为n＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔__u∥n__⇔存在λ∈R，使得__u＝λn__⇔__(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)__(λ∈R) 面面 垂直 设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔__n1⊥n2__⇔__n1·n2＝0__⇔__a1a2＋b1b2＋c1c2＝0__ 判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a，b是平面α内的向量，且n·a＝0，n·b＝0，那么n可以作为平面α的一个法向量.(　×　) (2)若点A，B是平面α上的任意两点，n是平面α的法向量，则·n＝0.(　√　) (3)若直线l的方向向量为v＝(3，1，－2)，平面α的一个法向量为n＝(－6，－2，4)，则l⊥α.(　√　) (见学生用书P24) 类型一 利用空间向量证明线线垂直 　　在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为AC的中点． 求证：(1)BD1⊥AC. (2)BD1⊥EB1. 证明： 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图． 设正方体的棱长为1，则B(1，1，0)，D1(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，B1(1，1，1). (1)因为＝(－1，－1，1)，＝(－1，1，0)， 所以·＝(－1)×(－1)＋(－1)×1＋1×0＝0， 所以⊥，即BD1⊥AC. (2)因为＝(－1，－1，1)，＝， 所以·＝(－1)×＋(－1)×＋1×1＝0， 所以⊥，即BD1⊥EB1. 活学活用 如图，在四棱锥C­ABEF中，平面ABEF⊥平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，AB∥EF，∠ABE＝90°，BE＝EF＝1，点M为BC的中点．求证：AM⊥CE. 证明： 取AB的中点O，连接OC，OF，因为三角形ABC是等边三角形，所以AB＝2，CO⊥AB.因为四边形ABEF满足AB∥EF，∠ABE＝90°，EF＝BE＝1， 所以FB＝FA＝，FO⊥AB.又因为平面ABEF⊥平面ABC，所以OF⊥平面ABC. 以OC，OB，OF所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0，－1，0)，M，C(，0，0)，E(0，1，1)，＝，＝(－，1，1)， 所以·＝－＋＝0，所以AM⊥CE. 类型二 利用空间向量证明线面垂直 　　在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，D1B1的中点，求证：EF⊥平面B1AC. 证明： 设正方体的棱长为2，建立空间直角坐标系，如图，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，E(2，2，1)，F(1，1，2). 因为＝(－1，－1，1)，＝(0，2，2)， ＝(－2，2，0)， 所以·＝(－1，－1，1)·(0，2，2)＝0， ·＝(－1，－1，1)·(－2，2，0)＝0， 所以EF⊥AB1，EF⊥AC. 又AB1∩AC＝A， 所以EF⊥平面B1AC. [规律方法] 用向量法证明线面垂直的两种方法 方法一：(1)建立空间直角坐标系． (2)将直线的方向向量用坐标表示． (3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量． (4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0. 方法二：(1)建立空间直角坐标系． (2)将直线的方向向量用坐标表示． (3)求出平面的法向量． (4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 活学活用 如图，在边长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点． 证明：EF⊥平面DA1C. 证明： 根据题意，建立空间直角坐标系，如图所示， 则D，A1，C，E，F， ∴＝，＝，＝， ∵·＝－1×2＋0×0＋1×2＝0， ∴⊥，即EF⊥DA1. 又·＝－1×0＋0×2＋1×0＝0， ∴⊥，即E