4.4.1 平面与平面平行（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

1．设直线l⊄平面α，则过l作平面β，使β∥α，这样的β(　　) A．只能作一个 B．至多可作一个 C．不存在 D．至少可作一个 B　[当l与平面α相交时，平面β不存在，当l∥α时，可作一个平面．] 2．如图所示，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCD ­A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是(　　) A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定 A　[∵A1E∥BE1，A1E⊄平面BCF1E1， BE1⊂平面BCF1E1， ∴A1E∥平面BCF1E1. 同理，A1D1∥平面BCF1E1. 又A1E∩A1D1＝A1，A1E，A1D1⊂平面EFD1A1， ∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1.] 3．已知a，b，c，d是4条直线，α，β是两个不重合的平面，若a∥b∥c∥d，a⊂α，b⊂α，c⊂β，d⊂β，则α与β的位置关系是(　　) A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．以上都不对 C　[根据图①和图②可知α与β平行或相交． ] 4．如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于(　　) A．2∶25 B．4∶25 C．2∶5 D．4∶5 B　[∵平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，∴AB∥A′B′， 同理B′C′∥BC，易得△ABC∽△A′B′C′， S△A′B′C′∶S△ABC＝＝＝.] 5．(多选题)已知m，n表示2条直线，α，β，γ表示3个平面，则下列选项中不正确的有(　　) A．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β B．若m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β C．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β ACD　[A错，可考虑三棱柱模型，三棱柱的三个侧面中任意两个与第三个侧面相交，两条交线即侧棱相互平行，但这两个侧面不平行．B正确，由判定定理可知，由m，n两条相交直线所确定的平面既与α平行，也与β平行，因而α∥β.C错．D错．] 6．如图，在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于M，交BC于N，则＝________． 　[∵平面MNE∥平面ACB1， 由面面平行的性质定理可得EN∥B1C，EM∥B1A， 又∵E为BB1的中点，∴M，N分别为BA，BC的中点， ∴MN＝AC，即＝.] 7．几何体ABCD­A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N三点的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ等于________． A　[取CD上一点Q，使CQ＝， 又由AP＝，∴PQ∥AC.而由正方体的性质知： AC∥A1C1.∵M，N分别为A1B1，B1C1的中点， ∴MN∥A1C1，∴MN∥AC，∴MN∥PQ， ∴平面MNPQ为过点P，M，N的平面， 在△DPQ中，PQ＝＝a.] 8.如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中， ①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN； ④平面BDE∥平面NCF. 以上四个命题中，正确命题的序号是________． ①②③④　　[以ABCD为下底面还原正方体，如图： 则易判定四个命题都是正确的．] 9.如图，已知在四棱锥P ­ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC. 证明　∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD， ∴MQ∥AD，NQ∥BP，而BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，∴NQ∥平面PBC. 又∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC∥AD， ∴MQ∥BC，而BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC， ∴MQ∥平面PBC. 又MQ∩NQ＝Q，MQ，NQ⊂平面MNQ， ∴平面MNQ∥平面PBC. 10.如图，在四棱锥C ­ABED中，四边形ABED是正方形，点G，F分别是线段EC，BD的中点． (1)求证：GF∥平面ABC； (2)若点P为线段CD的中点，平面GFP与平面ABC有怎样的位置关系？并证明． (1)证明　如图，连接AE，由F是线段BD的中点，四边形ABED为正方形，得F为AE的中点，∵G为EC中点， ∴GF为△AEC的中位线， ∴GF∥AC. 又∵AC⊂平面ABC，GF⊄平面ABC， ∴GF∥平面ABC. (2)解　平面GFP∥平面ABC， 证明如下： 连接FP，GP. ∵点F，P分别为B