1.6.3 解三角形应用举例（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

1．甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20 m高的旗杆，甲观测的仰角为50°，乙观测的仰角为40°，用d1，d2分别表示甲、乙两人与旗杆的距离，那么有(　　) A．d1>d2　　　　　　　 B．d1<d2 C．d1>20 m D．d2<20 m B　[仰角大说明距离小，仰角小说明距离大，即d1<d2.] 2. 学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，∠A＝30°，则其跨度AB的长为(　　) A．12 m B．8 m C．3 m D．4 m D　[由题意知，∠A＝∠B＝30°， 所以∠C＝180°－30°－30°＝120°. 由正弦定理得＝， 即AB＝＝＝4.] 3. 如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10 m，吊杆AC＝15 m，吊索AB＝5 m，起吊的货物与岸的距离AD为(　　) A．30 m B． m C．15 m D．45 m B　[在△ABC中，AC＝15 m，AB＝5 m，BC＝10 m，由余弦定理得cos ∠ACB＝＝＝－，所以sin ∠ACB＝.又∠ACB＋∠ACD＝180°，所以sin ∠ACD＝sin ∠ACB＝.在Rt△ACD中，AD＝AC sin ∠ACD＝15×＝(m).] 4．2020年5月1日起，新版《北京市生活垃圾管理条例》实施，根据该条例：小区内需设置可回收物垃圾桶和有害垃圾桶．已知李华要去投放这两类垃圾，他从自家楼下出发，向正北方向走了80米，到达有害垃圾桶，随后向南偏东60°方向走了30米，到达可回收物垃圾桶，则他回到自家楼下至少还需走(　　) A．50米 B．57米 C．64米 D．70米 D　[由题意，设李华家为A，有害垃圾点为B，可回收垃圾点为C， 则李华的行走路线如图所示， 在△ABC中，因为AB＝80，BC＝30，B＝60°， 由余弦定理可得： AC＝＝ ＝70米， 即李华回到自家楼下至少还需走70米．故选D.] 5. (多选题)在某次军事演习中红方为了准确分析战场形势，在两个相距的军事基地C和D，测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°.如图所示，则蓝方这两支精锐部队的距离不可能为(　　) A．a B．a C．a D． a BCD　[在△BCD中，∠CBD＝180°－30°－105°＝45°， 由正弦定理得＝，则BC＝＝a， 在△ACD中，∠CAD＝180°－60°－60°＝60°， 所以△ACD为等边三角形．因为∠ADB＝∠BDC， 所以BD为等边△ACD的中垂线，所以AB＝BC＝a.] 6．坡度为45°的斜坡长为100 m，现在要把坡度改为30°，则坡底要伸长________m. 50(－)　[如图，BD＝100，∠BDA＝45°，∠BCA＝30°. 设CD＝x，所以(x＋DA)tan 30°＝DA tan 45°. 又DA＝BD cos 45°＝100×＝50， 所以x＝－DA＝－50＝50(－)m.] 7．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x＝________cm. 　[ 如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B点．易知在△AOB中，AB＝10 cm，∠OAB＝75°，∠ABO＝45°， 则∠AOB＝60°.由正弦定理知x＝＝＝(cm).] 8. 如图，位于A处的海面观测站获悉，在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救．在A处南偏西30°且相距20海里的C处有一救援船，其速度为50海里/小时，则该船到求助处B的时间为______分钟． 24　[由题意知：AC＝20，A＝30°＋90°＝120°，AB＝40， 则在△ABC中，利用余弦定理知：BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cos 120°， 代入数据，得BC2＝400＋1 600－2×40×20×＝2 800， 解得BC＝20，设从C到B所用时间为t， 则t＝＝h＝×60 min＝24 min.] 9．如图，要计算某湖泊岸边两景点B与C的距离，由于受地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得AB＝5 km，AD＝7 km，∠ABD＝60°，∠CBD＝15°，∠BCD＝120°，则求两景点B与C的距离． 解　在△ABD中，因为AB＝5 km，AD＝7 km，∠ABD＝60°，由余弦定理得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos ∠ABD， 整理得49＝25＋BD2－5BD， 解得BD＝8或BD＝－3(舍去)， 在△BCD中，因为∠CBD＝15°，∠BCD＝120°， 所以∠BDC＝45°， 由正弦定理