4.4.1 平面与平面平行（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

4．4　平面与平面的位置关系 4．4.1　平面与平面平行 课程内容标准 学科素养凝练 1.通过直观感知、操作确认，归纳出平面与平面平行的性质定理及判定定理． 2.掌握平面与平面平行的性质及判定定理，并能初步利用定理解决问题． 通过学习平面与平面平行的判定定理及性质定理，提升直观想象及逻辑推理素养． 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有一条公共直线 符号表示 α∥β α∩β＝l 图形表示 文字语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号语言 若a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，且a∥β，b∥β，则α∥β 图形语言 文字语言 两个平面平行，如果一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 符号语言 若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 图形语言 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若平面α∥平面β，l⊂平面β，m⊂平面α，则l∥m.(　　) (2)夹在两平行平面间的平行线段相等．(　　) (3)若一个平面内的两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行．(　　) (4)若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．已知在长方体ABCD­A′B′C′D′中，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是(　　) A．平行　　　　　　 B．相交 C．异面 D．不确定 A　[由面面平行的性质定理易得．] 3．下列命题中正确的是(　　) A．一个平面内两条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行 B．如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 C．平行于同一直线的两个平面一定相互平行 D．如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行 B　[如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，即两个平面没有公共点，则两平面平行，故选B.] 4．已知α，β，γ是3个不重合的平面，a，b是两条不重合的直线．若α∩β＝a，β∩γ＝b，且α∥γ，则a与b的位置关系是________． 平行　[由平面与平面平行的性质定理可判定a∥b.] 如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是平行四边形，AC、BD交于O，点G和点H分别是CE和CF的中点． 求证：平面BDGH∥平面AEF. 证明　在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点， 所以GH∥EF， 又因为GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF， 所以GH∥平面AEF. 连接OH， 在△ACF中，因为OA＝OC，CH＝HF， 所以OH∥AF， 又因为OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF， 所以OH∥平面AEF. 又因为OH∩GH＝H，OH，GH⊂平面BDGH， 所以平面BDGH∥平面AEF. [方法总结]　平面与平面平行的判定方法 (1)定义法：两个平面没有公共点． (2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面． (3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β. (4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ. [训练1]　如图，在四棱锥P­ABCD中，点E为PA的中点，点F为BC的中点，底面ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O. 求证：平面EFO∥平面PCD. 证明　因为四边形ABCD是平行四边形，AC∩BD＝O， 所以点O为BD的中点． 又因为点F为BC的中点，所以OF∥CD. 又OF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD， 所以OF∥平面PCD， 因为点O，E分别是AC，PA的中点，所以OE∥PC， 又OE⊄平面PCD，PC⊂平面PCD， 所以OE∥平面PCD. 又OE，OF⊂平面EFO，且OE∩OF＝O， 所以平面EFO∥平面PCD. [知能解读]　应用平面与平面平行性质定理的基本步骤 如图，平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS＝3，BS＝9，CD＝8，求CS的长． 解　设AB，CD构成的面为γ， 因为γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，且α∥β，所以AC∥BD， 所以△SAC∽△SBD，所以＝，即＝，所以SC＝4. [变式]　将本例改为：如图，平面α∥平面β∥平面γ，两条直线a，b分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F.已知AC＝15 cm，DE＝5 cm，AB∶BC＝1∶3，求AB，BC，EF的长． 解　如图所示．连接AF，交β于点G， 则点A，B，C，F，G共面． ∵β∥α，平面ACF∩β＝BG，平面ACF∩γ＝CF， ∴BG∥CF，∴△ABG ∽