阶段测评(二) 导数的运算（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

阶段测评(二)　导数的运算 [对应学生用书P173] (时间：60分钟　满分：75分) 一、单项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知函数f(x)＝，则f′(－)＝(　　) A．－　　B．　　　C．　　　D．－ A　解析：∵f(x)＝，∴f′(x)＝， 因此，f′(－)＝＝－. 2．设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为(　　) A．y＝－2x B．y＝－x C．y＝2x D．y＝x D　解析：方法一　∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax， ∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a. 又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立， 即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立， ∴a＝1，∴f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1， ∴曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x. 方法二　∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数， ∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a为偶函数， ∴a＝1，即f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1， ∴曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x. 3．已知函数f(x)＝ln (2x－1)＋3xf′(1)，则f′(1)＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D．3 B　解析：因为f(x)＝ln (2x－1)＋3xf′(1)， 所以f′(x)＝＋3f′(1)， 令x＝1，可得f′(1)＝＋3f′(1)， 解得f′(1)＝－1. 4．若直线l与曲线y＝和圆x2＋y2＝都相切，则l的方程为(　　) A．y＝2x＋1 B．y＝2x＋ C．y＝x＋1 D．y＝x＋ D　解析：设直线l在曲线y＝上的切点为(x0，)，则x0＞0， 函数y＝的导数为y′＝， 则直线l的斜率k＝， 设直线l的方程为y－＝(x－x0)， 即x－2y＋x0＝0， 由于直线l与圆x2＋y2＝相切， 则＝， 两边平方并整理得5x－4x0－1＝0， 解得x0＝1，x0＝－(舍去)， 则直线l的方程为x－2y＋1＝0，即y＝x＋. 二、多项选择题(本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．) 5．已知函数f(x)＝x sin (－x)的导函数为f′(x)，则(　　) A．f′(x)为奇函数 B．f′(x)为偶函数 C．f′(0)＝1 D．f(π)＋f′(π)＝－π BC　解析：因为f(x)＝x sin (－x)， 所以f(x)＝x cos x， 所以f′(x)＝cos x－x sin x. 因为f′(－x)＝cos (－x)－(－x)sin (－x) ＝cos x－x sin x＝f′(x)， 所以f′(x)是偶函数，故A不正确，B正确； f′(0)＝cos 0－0×sin 0＝1，故C正确； f(π)＋f′(π)＝πcos π＋cos π－πsin π＝－π－1－0＝－π－1，故D不正确． 6．以下函数求导正确的是(　　) A．若f(x)＝，则f′(x)＝ B．若f(x)＝e2x，则f′(x)＝e2x C．若f(x)＝，则f′(x)＝ D．若f(x)＝cos (2x－)，则f′(x)＝－sin (2x－) AC　解析：对A，f′(x)＝＝，故A正确； 对B，f′(x)＝e2x×2＝2e2x，故B错误； 对C，f′(x)＝[(2x－1)]′＝×(2x－1)－×2＝(2x－1)－＝，所以C正确； 对D，f′(x)＝×2＝－2sin (2x－)，故D错误． 三、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分．请把正确答案填在题中横线上．) 7．若函数f(x)＝eax＋ln (x＋1)，f′(0)＝4，则a＝__________． 3　解析：由f(x)＝eax＋ln (x＋1)，得f′(x)＝aeax＋， ∵f′(0)＝4，∴f′(0)＝a＋1＝4，∴a＝3. 8．(2022·新高考卷Ⅱ)曲线y＝ln |x|过坐标原点的两条切线的方程为________________，________________． y＝x　y＝－x　解析：先求当x＞0时，曲线y＝ln x过原点的切线方程，设切点为(x0，y0)，则由y′＝，得切线斜率为，又切线的斜率为，所以＝，解得y0＝1，代入y＝ln x，得x0＝e，所以切线斜率为，切线方程为y＝x.同理可求得当x＜0时的切线方程为y＝－x.综上可知，两条切线方程为y＝x，y＝－x. 四、解答题(本题共3小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 9．(10