1.3.1 第2课时 函数单调性的综合问题 课后巩固（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

[对应学生用书P177] 1．若函数h(x)＝2x－在[1，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是(　　) A．[－2，＋∞)　　　　　 B．[2，＋∞) C．(－∞，－2] D．(－∞，2] A　解析：因为函数h(x)＝2x－在[1，＋∞)上是增函数，所以h′(x)＝2＋≥0在[1，＋∞)上恒成立，所以k≥(－2x2)max＝－2.经检验k＝－2符合题意． 2．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在R上是单调函数，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－ ]∪[，＋∞) B．[－， ] C．(－∞，－ )∪(，＋∞) D．(－，) B　解析：由题意知，f′(x)＝－3x2＋2ax－1，因为y＝f(x)在R上是单调函数，且y＝f′(x)的图象开口向下，所以f′(x)≤0在R上恒成立，故Δ＝4a2－12≤0，即－≤a≤.故实数a的取值范围是[－， ]. 3．若函数f(x)＝x2＋ax＋在(，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是(　　) A．[－1，0] B．[－1，＋∞) C．[3，＋∞) D．[0，3] C　解析：由题意得f′(x)＝2x＋a－， 由题意知，2x＋a－≥0对∀x∈(，＋∞)恒成立， 即a≥－2x对∀x∈(，＋∞)恒成立，令g(x)＝－2x，显然g(x)在(，＋∞)上单调递减，所以g(x)＜g()＝3，所以a≥3. 4．已知函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上均有f′(x)<g′(x)，则下列关系式正确的是(　　) A．f(x)＋f(b)≥g(x)＋g(b) B．f(x)－f(b)≥g(x)－g(b) C．f(x)≥g(x) D．f(a)－f(b)≥g(b)－g(a) B　解析：根据题意，由f′(x)<g′(x)，得f′(x)－g′(x)<0.令F(x)＝f(x)－g(x)，则F(x)在[a，b]上递减，由单调性知，当x∈[a，b]时，必有F(x)≥F(b)，即f(x)－g(x)≥f(b)－g(b)，移项整理，得f(x)－f(b)≥g(x)－g(b). 5．(多选)已知函数f(x)＝x ln (1＋x)，则(　　) A．f(x)在(0，＋∞)单调递增 B．f(x)有两个零点 C．曲线y＝f(x)在点(－，f(－))处切线的斜率为－1－ln 2 D．f(x)是偶函数 AC　解析：对于A，因为当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＝ln (x＋1)＋＞0，f(x)单调递增，故A正确；对于B，令xln (x＋1)＝0，解得x＝0，故B错误；对于C，因为f′(x)＝ln (x＋1)＋，所以f′(－)＝ln ＋＝－1－ln 2，故C正确；对于D，f(x)的定义域为(－1，＋∞)，不关于原点对称，故D错误． 6．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(2a－3)x－1. (1)若f(x)的单调递减区间为(－1，1)，则a的取值集合为________________； (2)若f(x)在区间(－1，1)内单调递减，则a的取值集合为________________． (1){0}　(2){a|a≤0}　解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋2a－3＝(x＋1)(3x＋2a－3). (1)∵f(x)的单调递减区间为(－1，1)，∴－1和1是方程f′(x)＝0的两根，∴＝1，∴a＝0，∴a的取值集合为{0}． (2)∵f(x)在区间(－1，1)内单调递减，∴f′(x)≤0在(－1，1)内恒成立，又二次函数y＝f′(x)开口向上，一根为－1，∴必有≥1，∴a≤0，∴a的取值集合为{a|a≤0}． 7．已知函数f(x)与f′(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝的单调递减区间为___________． (0，1)，(4，＋∞)　解析：由图象可知，不等式f′(x)－f(x)＜0的解集为(0，1)∪(4，＋∞)， ∵g(x)＝， g′(x)＝＝， 由g′(x)＜0，可得f′(x)－f(x)＜0， 解得x∈(0，1)∪(4，＋∞). 因此，函数g(x)＝的单调递减区间为(0，1)，(4，＋∞). 8．设函数f(x)＝ln (x＋a)＋x2，若f′(－1)＝0，求a的值，并讨论f(x)的单调性． 解：f′(x)＝＋2x，依题意，有f′(－1)＝0，故a＝. 从而f′(x)＝＝.f(x)的定义域为(－，＋∞). 当－<x<－1时，f′(x)>0；当－1<x<－时，f′(x)<0；当x>－时，f′(x)>0. 所以f(x)在区间(－，－1)，(－，＋∞)上单调递增，在区间(－1，－)上单调递减． 9．若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1，4)内单调递减，在区间(6，＋∞)内单调递增，试求a的取值范围． 解：方法一　f′(x)＝x2－ax＋a－1.因为f(x)在(1，4)内单调递减，所以f′(x)≤0在(1，4