1.3.1 第1课时 函数的单调性与导数 课后巩固（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

[对应学生用书P175] 1．函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图，函数y＝f(x)的一个单调递减区间是(　　) A．(x1，x3)　　　　　 B．(x2，x4) C．(x4，x6) D．(x5，x6) B　解析：由图象可知，当x∈(x1，x2)，(x4，x6)时，f′(x)＞0，当x∈(x2，x4)时，f′(x)＜0，∴函数f(x)在(x2，x4)上单调递减，在(x1，x2)，(x4，x6)上单调递增，∴函数y＝f(x)的一个单调递减区间是(x2，x4). 2．函数f(x)＝的单调递增区间是(　　) A．(，＋∞) B．(ln 2，＋∞) C．(ln ，0)，(0，＋∞) D．(－∞，0)，(0，) A　解析：由函数f(x)＝，得f′(x)＝(x≠0)，令f′(x)＝>0，解得x>，∴函数f(x)＝的单调递增区间是(，＋∞). 3．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是(　　) A．y＝sin x B．y＝xe2 C．y＝x3－x D．y＝ln x－x B　解析：显然y＝sin x在(0，＋∞)上既有增又有减，故A错；对于函数y＝xe2，因e2为大于零的常数，不用求导就知y＝xe2在(0，＋∞)上单调递增；对于C，y′＝3x2－1＝3(x＋)(x－)，故函数在(－∞，－)，(，＋∞)上为单调递增，在(－，)上为单调递减；对于D，y′＝－1(x>0)，故函数在(1，＋∞)上为单调递减，在(0，1)上为单调递增． 4．已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中y＝f(x)的图象大致是(　　) C　解析：由函数y＝xf′(x)的图象可知：当x＜－1时，xf′(x)＜0，f′(x)＞0，此时f(x)单调递增；当－1＜x＜0时，xf′(x)＞0，f′(x)＜0，此时f(x)单调递减；当0＜x＜1时，xf′(x)＜0，f′(x)＜0，此时f(x)单调递减；当x＞1时，xf′(x)＞0，f′(x)＞0，此时f(x)单调递增． 5．(多选)已知函数f(x)的定义域为R，其导函数f′(x)的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R(x1≠x2)，下列结论正确的是(　　) A．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0 B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0 C．f()＞ D．f()＜ AD　解析：由题中图象可知，导函数f′(x)的图象在x轴下方，即f′(x)＜0，且其绝对值越来越小，因此过函数f(x)图象上任一点的切线的斜率为负，并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角，由此可得f(x)的大致图象如图所示． A选项表示x1－x2与f(x1)－f(x2)异号，即f(x)图象的割线斜率为负，故A正确；B选项表示x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，即f(x)图象的割线斜率为正，故B不正确；f()表示对应的函数值，即图中点B的纵坐标，表示当x＝x1和x＝x2时所对应的函数值的平均值，即图中点A的纵坐标，显然有f()＜，故C不正确，D正确． 6．若函数f(x)的导函数为f′(x)＝x2－4x＋3，则函数f(1＋x)的单调递减区间是______________． (0，2)　解析：令f′(x)＝x2－4x＋3<0，得1<x<3，由1<1＋x<3，解得0<x<2，故函数f(1＋x)的单调递减区间为(0，2). 7．已知f(x)满足f(4)＝f(－2)＝1，f′(x)为其导函数，且导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则f(x)＜1的解集是_________． (－2，4)　解析：由f(x)的导函数f′(x)的图象知，f(x)在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，当x≤0时，由f(x)＜1＝f(－2)，得－2＜x≤0， 当x＞0时，由f(x)＜1＝f(4)，得0＜x＜4， 综上所述，f(x)＜1的解集为(－2，4). 8．已知函数f(x)＝ax4＋bx2＋c的图象经过点(0，1)，且在x＝1处的切线方程是y＝x－2. (1)求y＝f(x)的解析式； (2)求y＝f(x)的单调递增区间． 解：(1)由题意得，f(0)＝1，f′(1)＝1，f(1)＝－1. 又f′(x)＝4ax3＋2bx， ∴∴ ∴f(x)＝x4－x2＋1. (2)由(1)得，f′(x)＝10x3－9x，由10x3－9x>0得x>或－<x<0， ∴f(x)的单调递增区间为(－，0)，(，＋∞). 9．已知函数f(x)＝ax，其中a>1.求函数h(x)＝f(x)－x ln a的单调区间． 解：由题意知，h(x)＝ax－x ln a，有h′(x)＝ax ln a－ln a． 令h′(x)＝0，解得x＝0. 由a>1，可知当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表： x (－∞，0)