模块复习课（二）空间向量与立体几何（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

[对应学生用书P145] [对应学生用书P145] 空间向量运算的类型及关键点 1．空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量． 2．空间向量的数量积的定义表达式为a·b＝|a|·|b|·cos 〈a，b〉，其他变式如夹角公式cos 〈a，b〉＝，模的公式a2＝|a|2等都是解决立体几何问题的重要公式． [训练1]　(1)如图，在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.给出以下结论： ①＋＋＋＝0； ②＋－－＝0； ③－＋－＝0； ④·＝·； ⑤·＝0， 其中正确的是________．(填序号) (2)如图，在平行六面体A1B1C1D1 ­ABCD中，M分成的比为，N分成的比为2，设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示. (1)③④　解析：容易推出：－＋－＝＋＝0，所以③正确； 又因为底面ABCD是边长为1的正方形， SA＝SB＝SC＝SD＝2， 所以·＝2×2cos ∠ASB， ·＝2×2cos ∠CSD， 而∠ASB＝∠CSD， 于是·＝·， 因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④. (2)解：连接AN，则＝＋. 由已知ABCD是平行四边形， 故＝＋＝a＋b， 又M分成的比为， 故＝－＝－(a＋b). 由已知，N分成的比为2， 故＝＋＝－ ＝－＝(c＋2b)， 于是＝＋ ＝－(a＋b)＋(c＋2b)＝(－a＋b＋c). [训练2]　(1)已知a＝(2，3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x＝(　　) A．(0，3，－6)　　　　 B．(0，6，－20) C．(0，6，－6) D．(6，6，－6) (2)已知向量a＝(x，1，2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3，1，z)，a∥b，b⊥c. ①求向量a，b，c；②求a＋c与b＋c所成角的余弦值． (1)B　解析：由b＝x－2a得x＝4a＋2b， 又4a＋2b＝4(2，3，－4)＋2(－4，－3，－2)＝(0，6，－20)， 所以x＝(0，6，－20). (2)解：①∵向量a＝(x，1，2)，b＝(1，y，－2)， c＝(3，1，z)，且a∥b，b⊥c， ∴解得 ∴向量a＝(－1，1，2)，b＝(1，－1，－2)，c＝(3，1，1). ②∵a＋c＝(2，2，3)，b＋c＝(4，0，－1)， ∴(a＋c)·(b＋c)＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5， |a＋c|＝＝， |b＋c|＝＝， ∴a＋c与b＋c所成角的余弦值为＝. 证明平行、垂直问题，除了应用传统的证明平行、垂直的判定定理外，还可以利用向量共线及平面的法向量及向量的数量积进行证明． [训练3]　如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，P，Q分别为线段AB，CD的中点，EP⊥平面ABCD. (1)求证：AQ∥平面CEP； (2)求证：平面AEQ⊥平面DEP. 证明：方法一(向量法)　(1)∵EP⊥矩形ABCD所在的平面，且P，Q分别为AB，CD的中点， ∴PQ⊥AB，故以P为坐标原点，以PA，PQ，PE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建系如图所示． 令AB＝2，PE＝a， 则P(0，0，0)，A(1，0，0)，Q(0，1，0)，E(0，0，a)，C(－1，1，0). ∴＝(－1，1，0)，＝(－1，1，0)， ∴＝，∴∥，∴AQ∥PC. ∵AQ⊄平面CEP，PC⊂平面CEP， ∴AQ∥平面CEP. (2)∵D(1，1，0)，E(0，0，a)， ∴＝(1，1，0)，＝(0，0，a)， ∴·＝(－1，1，0)·(1，1，0)＝－1＋1＋0＝0， ·＝(－1，1，0)·(0，0，a)＝0. ∴⊥，⊥，即AQ⊥PD，AQ⊥PE.又PD∩PE＝P，PD，PE⊂平面DEP， ∴AQ⊥平面DEP.∵AQ⊂平面AEQ， ∴平面AEQ⊥平面DEP. 方法二(传统法)　(1)在矩形ABCD中，AP＝PB，DQ＝QC，∴AP綊QC， ∴四边形AQCP为平行四边形，∴CP∥AQ. ∵CP⊂平面CEP，AQ⊄平面CEP，∴AQ∥平面CEP. (2)∵EP⊥平面ABCD，AQ⊂平面ABCD，∴AQ⊥EP. ∵AB＝2BC，P为AB中点，∴AP＝AD. 连接PQ，则四边形ADQP为正方形，∴AQ⊥DP. ∵EP∩DP＝P，EP，DP⊂平面DEP，∴AQ⊥平面DEP. ∵AQ⊂平面AEQ，∴平面AEQ⊥平面DEP. (1)求点到平面的距离，常常利用向量法，转化为平面外一点与平面内一点构成的向量在平面的法向量方向上的投影向量的长度． (2)求直线到平面的距离，往往转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当选取，以易