3.1.2 事件的独立性 3.1.3 乘法公式（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

3．1．2　事件的独立性 3．1．3　乘法公式 课程内容标准 学科素养凝练 1．理解事件的相互独立性． 2．理解并掌握乘法公式． 3．能综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的概率乘法公式解决实际问题． 通过事件的相互独立性及对乘法公式的学习，达成数学抽象、逻辑推理、数学运算与数据分析的核心素养． [对应学生用书P86] 若事件A与事件B相互独立，则事件A的发生不会影响事件B发生的概率，即有P(B|A)＝P(B).反之，若P(B|A)＝P(B)成立，则P(AB)＝P(A)＝P(A)P(B|A)＝P(A)P(B)． 1．如果n(n＞2)个事件A1，A2，…，An中任何一个事件发生的概率都不受其余事件发生与否的影响，则称A1，A2，…，An相互独立． 2．一般地，当n(n＞2)个事件A1，A2，…，An相互独立时，有以下公式成立： P(A1A2…An)＝P(A1)·P(A2)·…·P(An)． 注意：上式并不表示A1，A2，…，An相互独立． 1．如果三个事件A, B，C不相互独立且P(AB)＞0，则P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB)． 2．若Ai(i＝1，2, …，n)为随机事件，且P(A1A2…An－1)＞0，则P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2| A1) P(A3| A1 A2)· …·P(An|A1A2…An－1).该式常称为概率的乘法公式． 若事件Ai(i＝1，2, …，n)相互独立，则上式变为P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)·…·P(An).称为相互独立事件的概率乘法公式． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)若事件A与B相互独立，则A与，与，B与也都相互独立．(　　) (2)对事件A和B，若P(B|A)＝P(B)，则事件A与B相互独立．(　　) (3) P(AB)＝P(A)P(B).(　　) (4)若事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B).(　　) (5)P(A1A2A3A4)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)，其中P(A1)＞0，P(A2A1)＞0，P(A1A2A3)＞0.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√ 2．甲、乙两人投球命中率分别为，，甲、乙两人各投一次，恰好命中一次的概率为(　　) A．　　　B．　　　　C．　　　　D． A　解析：事件“甲投球一次命中”记为A，“乙投球一次命中”记为B，“甲、乙两人各投一次恰好命中一次”记为事件C，则C＝A∪B且A与B互斥，P(C)＝P(A∪B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝＝. 3．第一个袋中有黑、白球各2只，第二个袋中有黑、白球各3只．先从第一个袋中任取一球放入第二个袋中，再从第二个袋中任取一球，则第一、二次均取到白球的概率为(　　) A． B． C． D． B　解析：记Ai表示“第i次取得白球”，i＝1，2， 则P(A1)＝，P(A2|A1)＝，由乘法公式求得， P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝×＝. 4．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8，0.6，0.5，则三人都达标的概率是________，三人中至少有一人达标的概率是________． 0．24　0.96　解析：三人都达标的概率为0.8×0.6×0.5＝0.24. 三人都不达标的概率为(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.2×0.4×0.5＝0.04. 三人中至少有一人达标的概率为1－0.04＝0.96. [对应学生用书P87] (1)下列事件中，A，B是相互独立事件的是(　　) A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面” B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球” C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数” D．A＝“人能活到20岁”，B＝“人能活到50岁” (2)判断下列各对事件是否为相互独立事件： ①甲组3名男生，2名女生，乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”； ②容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”； ③掷一枚骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”． (1)A　解析：把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A是独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，A，B应为互斥事件，不相互独立；D是条件概率，事件B受事件A的影响． (2)解：①“从甲组