1.3.2 函数的极值与导数（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

1．3.2　函数的极值与导数 课程内容标准 学科素养凝练 1．借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件． 2．能利用导数求某些函数的极大值、极小值． 3．体会导数与单调性、极值的关系． 1．在学习函数极值概念的过程中提升直观想象、数学抽象的核心素养． 2．在求函数极值的过程中达成逻辑推理、数学运算的核心素养． [对应学生用书P26] 1．极大值与极大值点 设函数y＝f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是区间(a，b)内的一个点，若点x0附近的函数值都小于或等于f(x0)(即f(x)≤f(x0))，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极大值，此时x0称为f(x) 的一个极大值点． 2．极小值点与极小值 设函数y＝f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是区间(a，b)内的一个点，若点x0附近的函数值都大于或等于f(x0)(即f(x)≥f(x0))，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极小值，此时x0称为f(x) 的一个极小值点． 3．极值的定义 (1)极大值和极小值统称为极值．极大值点和极小值点统称为极值点． (2)极值是局部开区间上的最值，极值是函数在某些区间内的局部性质． 1．函数在极值点的导数为0，导函数的零点可能不是函数的极值点．也就是说，若f′(c)存在，则f′(c)＝0是f(x)在x＝c处取到极值的必要条件，但不是充分条件． 2．若f′(c)＝0，则x＝c叫作函数f(x)的驻点．如果一个函数的导数在驻点的两侧变号，则该驻点就是此函数的一个极值点． 1．求导数f′(x). 2．求f(x)的驻点，即求方程f′(x)＝0的解． 3．对于方程f′(x)＝0的每一个解x0，分析f′(x)在x0左右两侧的符号(即讨论f(x)的单调性)，确定极值点： (1)若f′(x)在x0两侧的符号为“左正右负”，则x0为极大值点； (2)若f′(x)在x0两侧的符号为“左负右正”，则x0为极小值点． 4．求出各极值点的函数值，就得到函数y＝f(x)的全部极值． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)导数值为0的点一定是函数的极值点．(　　) (2)函数的极小值一定小于它的极大值．(　　) (3)函数在定义域内有一个极大值和一个极小值．(　　) (4)如果f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．函数y＝f(x)的定义域为R，若导函数f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)(　　) A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点 C　解析：f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值，f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点． 3．若可导函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则f′(1)＝______，1是函数f(x)的______． 0　极大值点　解析：由题意可知，当x＜1时，f′(x)＞0，当x＞1时，f′(x)＜0， ∴f′(1)＝0，1是函数f(x)的极大值点． 4．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值等于13，则实数m等于________． －19　解析：y′＝－3x2＋12x，由y′＝0，得x＝0或x＝4，当x＜0或x＞4时，y′＜0，当0＜x＜4时，y′＞0，所以函数y＝－x3＋6x2＋m在(－∞，0)，(4，＋∞)上单调递减，在(0，4)上单调递增，故容易得出当x＝4时函数取得极大值，所以－43＋6×42＋m＝13，解得m＝－19. [对应学生用书P27] [知能解读]　 1．对于极值的认识 (1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧区域而言的．极值点是区间内部的点而不会是端点． (2)若f(x)在某区间内有极值，那么f(x)在该区间内一定不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值． 2．对于函数极值点的认识 (1)函数f(x)在某区间内有极值，它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点． (2)当函数f(x)在某区间上连续且有有限个极值点时，函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的． (3)从曲线的切线角度看，曲线在极值点处切线的斜率为0，并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正． 命题角度1　不含参数的函数求极值 求下列函数的极值点和极值． (1)f(x)＝x3－x2－3x＋3；(2)f(x)＝＋3ln x；(3)f(x)＝x2e－x. 解：(1)f(x)＝x