1.3.1 第1课时 函数的单调性与导数（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

1．3　导数在研究函数中的应用 1．3.1　函数的单调性与导数 课程内容标准 学科素养凝练 1．结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系． 2．能利用导数研究函数的单调性． 3．对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间． 1．在学习函数单调性与导数的关系中提升直观想象、数学抽象的核心素养． 2．在研究多项式函数的单调性与单调区间的基础上达成逻辑推理、数学运算的核心素养． [对应学生用书P20] 对于一般函数，其单调性与其导数的正负之间有如下法则： 1．若在区间(a，b)内，f′(x)＞0，则函数f(x)在此区间内单调递增，(a，b)为f(x)的单调递增区间． 2．若在区间(a，b)内，f′(x)＜0，则函数f(x)在此区间内单调递减，(a，b)为f(x)的单调递减区间． 1．函数的导数就是函数值关于自变量的瞬时变化率，变化率的绝对值大说明函数值变得快，绝对值小说明函数值变得慢． 2．从函数的图象上看，导数是切线的斜率. 斜率的绝对值大说明切线陡，曲线也就陡；斜率的绝对值小说明切线较平，曲线也就平缓一些． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(　　) (2)若函数f(x)是定义在R上的增函数，那么一定有f′(x)>0.(　　) (3)在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√ 2．若在区间(a，b)内，f ′(x)>0，且f (a)≥0，则在(a，b)内有(　　) A．f(x)>0　　　　 B．f(x)<0 C．f(x)＝0 D．不能确定 A　解析：由条件可知，f(x)在(a，b)内单调递增，∵f (a)≥0，∴在(a，b)内有f(x)>0. 3．函数y＝f(x)的图象如图所示，则(　　) A．f′(3)>0 B．f′(3)<0 C．f′(3)＝0 D．f′(3)的正负不确定 B　解析：由图象可知，函数f(x)在(1，5)上单调递减，则在(1，5)上有f′(x)<0，故f′(3)<0. 4．函数y＝x2－ln x的单调递减区间为(　　) A．(－1，1] B．(0，1) C．[1，＋∞) D．(0，＋∞) B　解析：函数y＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，y′＝x－＝，令y′＜0，则可得0＜x＜1. 5．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0, 1)内单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．[1，＋∞) B．a＝1 C．(－∞，1] D．(0，1) A　解析：∵f′(x)＝3x2－2ax－1，且f(x)在(0，1)内单调递减， ∴不等式3x2－2ax－1≤0在(0，1)内恒成立，∴f′(0)≤0，且f′(1)≤0，∴a≥1. 即实数a的取值范围是[1，＋∞). 第1课时　函数的单调性与导数 [对应学生用书P21] [知能解读]　对导数与函数图象的关系，需注意以下三个方面 (1)函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性． (2)导数与函数图象(如下图)的关系： ①函数值增加得越来越快，f′(x)>0且越来越大； ②函数值增加得越来越慢，f′(x)>0且越来越小； ③函数值减少得越来越快，f′(x)<0且绝对值越来越大； ④函数值减少得越来越慢，f′(x)<0且绝对值越来越小． (3)观察导函数的图象，重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负． (1)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)可能为(　　) D　解析：由函数的图象知，当x<0时，函数单调递增，导数应始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，导数应先正后负再正．对照选项，只有D正确． (2)画出函数f(x)＝2x3－3x2－36x＋16的大致图象． 解：由题可知定义域为R，f′(x)＝6x2－6x－36＝6(x2－x－6)＝6(x－3)(x＋2). 由f′(x)＞0 得x＜－2或x＞3， ∴函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－2)和(3，＋∞). 由f′(x)＜0得－2＜x＜3， ∴函数f(x)的单调递减区间是(－2，3). 由已知得f(－2)＝60，f(3)＝－65，f(0)＝16. ∴结合函数单调性及以上关键点画出函数f(x)大致图象如图所示(答案不唯一). [方法总结]　 1．利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的