1.2.2 第2课时 等差数列前n项和的应用（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于(　　) A．2　　　　　　 B．3 C．6 D．7 B　[S2＝a1＋a2＝4，S4－S2＝a3＋a4＝20－4＝16， ∴(a3＋a4)－(a1＋a2)＝4d＝12.∴d＝3.] 2．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2 021＝a2 021＝2 021，则a1等于(　　) A．－2 019　　　　　　 B．2 019 C．－2 020 D．2 020 A　[S2 021＝＝2 021，故a1＋a2 021＝2. 又a2 021＝2 021，所以a1＝－2 019.] 3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，7a5＋5a9＝0，且a9>a5，则Sn取得最小值时n的值为(　　) A．5　　　　　　 B．6 C．7 D．8 B　[设等差数列{an}的公差为d， 由7a5＋5a9＝0，得＝－. 又a9>a5，所以d>0，a1<0.因为函数y＝x2＋(a1－)x的图象的对称轴为x＝－＝＋＝，取最接近的整数6，故Sn取得最小值时n的值为6.] 4．在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 014＝S2 019，Sk＝S2 012，则正整数k为(　　) A．2 018　　　　　　 B．2 019 C．2 020 D．2 021 D　[因为等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称性及S2 014＝S2 019，Sk＝S2 012，可得＝，解得k＝2 021.] 5．《张丘建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，一个月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织布(　　) A．尺　　　　　　 B．尺 C．尺 D．尺 C　[设该女织布每天增加d尺，由题意知S30＝30×5＋d＝390，解得d＝.故该女子织布每天增加尺．] 6．在等差数列{an}中，已知a5>0，a4＋a7<0，则{an}的前n项和Sn的最大值为________． S5　[∵∴ ∴Sn的最大值为S5.] 7．(多空题)某渔业公司年初购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要维修费12万元，从第二年起维修费比上一年增加4万元，则第5年的维修费是________万元，前10年维修费总和为________万元． 28　300　[由题意，从第二年起维修费比上一年增加4万元，即每年的维修费成等差数列．设从第二年起，每年的维修费构成的等差数列为{an}，则an＝12＋4(n－1)＝4n＋8，所以a5＝4×5＋8＝28(万元)，S10＝10×12＋×10×9×4＝300(万元).] 8．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15. (1)求{an}的通项公式； (2)求Sn，并求Sn的最小值． 解　(1)设{an}的公差为d， 由题意得3a1＋3d＝－15. 由a1＝－7得d＝2. 所以{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n－9. (2)由(1)得Sn＝＝n2－8n＝(n－4)2－16， 所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16. 9．(2021·全国新高考卷Ⅱ)记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4. (1)求数列{an}的通项公式an； (2)求使Sn>an成立的n的最小值． 解　(1)由等差数列的性质可得S5＝5a3，则a3＝5a3， ∴a3＝0. 设等差数列的公差为d， 则a2a4＝(a3－d)(a3＋d)＝－d2， S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(a3－2d)＋(a3－d)＋a3＋(a3＋d)＝－2d， 从而－d2＝－2d，由于公差不为零，故d＝2， 数列的通项公式为an＝a3＋(n－3)d＝2n－6. (2)由数列的通项公式可得a1＝2－6＝－4，则Sn＝n×(－4)＋×2＝n2－5n， 则不等式Sn>an，即n2－5n>2n－6，整理可得(n－1)(n－6)>0，解得n<1或n>6. 又n为正整数，故n的最小值为7. 10．(2021·北京卷)数列{an}是递增的整数数列，且a1≥3，a1＋a2＋…＋an＝100，则n的最大值为(　　) A．9　　　　　　 B．10 C．11 D．12 C　[若要使n尽可能的大，则a1递增幅度要尽可能小， 不妨设数列{an}是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为Sn， 则an＝n＋2，S11＝×11＝88<100，S12＝×12＝102>100， 所以n的最大值为11.] 11．(多选题)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6>S7>S5，则下列四个命题中正确的是(　　) A．d<0 B．S11>0 C