1.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

2.2　等差数列的前n项和 第1课时　等差数列的前n项和公式 课程内容标准 学科素养凝练 1.探索并掌握等差数列前n项和公式． 2．理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系． 1.经历等差数列前n项和公式的推导，提升数学抽象和逻辑推理的核心素养． 2．通过等差数列前n项和公式的运用，达成逻辑推理和数学运算的核心素养． 1．等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋d 2.等差数列的前n项和公式与二次函数的关系 将等差数列前n项和公式Sn＝na1＋d整理成关于n的函数可得Sn＝n2＋(a1－)n． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和．(√) (2)若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝Sn－Sn－1，n∈N＋.(×) (3)等差数列的前n项和，等于其首项、第n项的等差中项的n倍．(√) 2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝18－a5，则S8等于(　　) A．72　　　　B．54　　　　C．36　　　　D．18 A　[由a4＝18－a5，可得a4＋a5＝18，所以S8＝＝4(a4＋a5)＝4×18＝72.] 3．在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝________． 190　[S19＝＝＝190.] 4．(教材习题改编)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝10，S5＝5，则S8＝________． 44　[设等差数列{an}的公差为d，由已知得a1＋5d＝10, 5a1＋×d＝5， 解得a1＝－5，d＝3， 所以S8＝8×(－5)＋×3＝－40＋84＝44.] [知能解读]　a1，d，n，an，Sn，知三求二 (1)在等差数列{an}中，an＝a1＋(n－1)d，Sn＝或Sn＝na1＋d. 两个公式共涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项、公差、项数、末项和前n项和． (2)依据方程的思想，在等差数列前n项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”． (1)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则(　　) A．an＝2n－5　　　　 　 B．an＝3n－10 C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n A　[设等差数列{an}的公差为d. 由S4＝0，a5＝5可得 解得 所以an＝－3＋2(n－1)＝2n－5， Sn＝n×(－3)＋×2＝n2－4n.] (2)(2020·全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________． 25　[设等差数列{an}的公差为d， 由a1＝－2，a2＋a6＝2，可得－2＋d＋(－2)＋5d＝2， 解得d＝1. 根据等差数列前n项和公式Sn＝na1＋d， 可得S10＝10×(－2)＋＝－20＋45＝25.] [方法总结]　等差数列中基本计算的两个技巧 (1)利用基本量求值 (2)利用等差数列的性质解题 [训练1]　设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a8＝11，则S9等于(　　) A．13　　　 B．35　　　 C．49　　　 D．63 D　[∵{an}为等差数列，∴a1＋a9＝a2＋a8.∴S9＝＝＝63.] 探究二　与等差数列前n项和有关的性质问题 [知能解读]　与等差数列前n项和有关的性质 (1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为. (2)若Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d. (3)设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝. (4)若等差数列的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝. (5)若等差数列的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，＝. (1)等差数列前n项的和为30，前2n项的和为100，则它的前3n项的和为(　　) A．130　　　　　　 B．170 C．210 D．260 C　[利用等差数列的性质：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，可得Sn＋(S3n－S2n)＝2(S2n－Sn)， 即30＋(S3n－100)＝2(100－30)， 解得S3n＝210.] (2)等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n等于________． 10　[因为等差数列共有2n＋1项，所以S奇－S偶＝an＋1＝，即132－120＝，解得