1.1.2 数列的函数特性（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

1.2　数列的函数特性 课程内容标准 学科素养凝练 1.了解递增数列、递减数列、常数列的概念． 2．掌握判断数列增减性的方法． 3．利用数列的增减性求最大值、最小值． 1.通过对数列的函数性质的学习培养数学抽象的核心素养． 2．通过对数列增减性的研究培养逻辑推理的核心素养． 1．数列的函数特性 数列是一类特殊的函数，由于一般函数有三种表示方法，数列也不例外，有列表法、图象法和解析法． 2．数列的增减性 名称 定义 判断方法 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项 an＋1＞an 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项 an＋1＜an 常数列 各项都相等 an＋1＝an 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)数列的图象与对应函数的图象相同．(　　) (2)常数列不具有增减性．(　　) (3)若an＋1＝an＋1，则数列{an}是递减数列．(　　) (1)×　(2)√　(3)×　[(1)不正确，如f(x)＝x－2的图象是一条直线，而an＝n－2的图象是直线y＝x－2上一些孤立的点；(2)正确；(3)不正确，因为an＋1＝an＋1＞an，所以数列{an}是递增数列．] 2．(教材习题改编)在数列{an}中，an＝－n＋1，则{an}是(　　) A．递增数列　　　　　　　 B．递减数列 C．常数列 D．不能确定 B　[an＋1－an＝[－(n＋1)＋1]－(－n＋1)＝－1＜0，故an＋1＜an，所以{an}是递减数列．] 3．若数列{an}为递增数列，其通项公式为an＝kn－2，则实数k的取值范围是________． (0，＋∞)　[由题意知an＋1－an＝[k(n＋1)－2]－(kn－2)＝k＞0，即实数k的取值范围是(0，＋∞).] 4．(多空题)有下列数列：①1，2，22，23，…；②1，0.5，0.52，0.53，…；③7，7，7，7，…；④－2，2，－2，2，－2，….其中，________是递增数列，________是递减数列，________是摆动数列，________是常数列．(填序号) 答案　①　②　④　③ [知能解读]　数列与函数的关系 从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，因此也可以用图象来表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐标为(n，an)，描点画图，就可以得到数列的图象．因为它的定义域是正整数集N＋(或它的有限子集{1，2，3，…，n})，所以其图象是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的． 已知数列{an}的通项公式为an＝. (1)写出该数列的前4项； (2)画出该数列的图象，并判断增减性． 解　(1)an＝，令n＝1，2，3，4，可得该数列的前4项分别是a1＝－，a2＝－，a3＝－，a4＝－2. (2)该数列的图象如下图所示， 由图象可知，该数列在{1，2，3，4}上是递减的，在{5，6，…}上也是递减的． [方法总结]　 (1)由通项公式写出数列的指定项，主要是对n进行取值，然后代入通项公式，相当于在函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值． (2)数列的图象可直观地反映数列各项的变化趋势，从而可判断数列的增减性． [训练1]　已知数列{an}的通项公式为an＝2n－1，作出该数列的图象并判断该数列的增减性． 解　分别取n＝1，2，3，…，得到点(1，1)，(2，3)，(3，5)，…，描点作出图象如下图．该数列的图象是直线y＝2x－1上的一些等间隔的点． 由图象可知该数列为递增数列． [知能解读]　判断数列增减性的方法 (1)作差比较法 ①若an＋1－an＞0恒成立，则数列{an}是递增数列； ②若an＋1－an＜0恒成立，则数列{an}是递减数列； ③若an＋1－an＝0恒成立，则数列{an}是常数列． (2)作商比较法 ①若an＞0，则 当＞1时，数列{an}是递增数列； 当＜1时，数列{an}是递减数列； 当＝1时，数列{an}是常数列． ②若an＜0，则 当＜1时，数列{an}是递增数列； 当＞1时，数列{an}是递减数列； 当＝1时，数列{an}是常数列． 判断数列的增减性． 解　∵an＝， ∴an＋1＝＝. 方法一(作差法)　an＋1－an＝－ ＝ ＝. ∵n∈N＋，∴an＋1－an>0，即an＋1>an. ∴数列为递增数列． 方法二(作商法)　∵n∈N＋，∴an>0. ∵＝＝ ＝＝1＋>1， ∴an＋1>an.∴数列为递增数列． 方法三(构造函数法)　令ƒ(x)＝(x≥1)，则 ƒ(x)＝()＝(1－). ∴函数ƒ(x)在[1，＋∞)上是增函数． ∴数列是递增数列． [方法总结]　判断一个数列的增减性，可以利用数列图象变化趋势进行判断，也可以利用递增