6.1.3 向量的减法（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教B版2019）

6.1.3　向量的减法 课程标准 学科素养 1.理解相反向量的含义，借助相反向量理解向量减法运算的几何意义． 2．掌握平面向量减法运算及运算规则． 3．能运用向量的加法和减法运算解决相关问题． 通过学习向量的减法，加强数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养． [对应学生用书P89] 1．在平面内任取一点O，作＝a，＝b，作出向量，因为＋＝，因此向量就是向量a与b的差(也称为向量a与b的差向量)，即－＝，这种求两向量差的作图方法称为向量减法的三角形法则． 2．向量减法的三角形法则适用于任意两个向量的差． 　(教材改编)如图，在正方形ABCD中，对角线相交于点O，则有： (1)－＝________．(2)－＝________． (3)－＝________． (1)　(2)　(3)　解析：(1)－＝. (2)－＝.(3)－＝－＝. 1．给定一个向量，把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量，向量a的相反向量记作－a． 2.00，a＋(a)＝0. 1．思考辨析 (1)方向相反的向量就是相反向量．(　　) (2)相反向量一定是共线向量．(　　) (3)相反向量的模一定相等．(　　) (4)向量的减法运算可以通过相反向量转化为加法运算．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．若非零向量a，b互为相反向量，则下列说法错误的是(　　) A．a∥b　　　　　　　 B．a≠b C．|a|≠|b| D．b－a C　解析：根据相反向量的定义：大小相等，方向相反，可知|a|＝|b|. [对应学生用书P90] (1)在△ABC中，＝a，＝b，则等于(　　) A．a＋b　　　　　　　　 B．－a＋(－b) C．a－b D．b－a B　解析：＝－＝－a－b＝－a＋(－b). (2)如图所示，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c，求作向量b＋c－a. 解：以，为邻边作▱OBDC，连接OD，AD，则＝＋＝b＋c，＝－＝b＋c－a. 求作两个向量的差向量的两种思路 (1)用向量减法的三角形法则作两向量的差的步骤 此步骤可以简记为“作平移，共起点，两尾连，指被减”． (2)利用相反向量作两向量差的方法 作向量a－b时，先作向量＝a，再作＝－b，则向量＝＋＝a＋(－b)＝a－b [训练1]　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. 解：方法1如图①，在平面内任取一点O，作＝a， ＝b， 则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c. 方法2如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b， 则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c. 化简下列各向量的表达式： (1)＋－； (2)(－)－(－)； (3)(＋＋)－(－－). 解：(1)原式＝－＝. (2)原式＝(＋)－(＋)＝－＝0. (3)原式＝(＋)－(－)＝－＝0. 向量加减法化简的两种形式 (1)首尾相连且为和； (2)起点相同且为差． 做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用 [训练2]　化简下列向量的表达式： (1)－＋－； (2)(－)＋(－). 解：(1)原式＝＋－＝－＝. (2)原式＝＋＋＋＝＋(＋＋)＝＋0. 已知O为四边形ABCD所在平面外的一点，且向量，，，满足＋＝＋，则四边形ABCD的形状为________． 平行四边形　解析：∵＋＝＋， ∴－＝－， ∴＝. ∴||＝||，且DA∥CB， ∴四边形ABCD是平行四边形． [变式]　在四边形ABCD中， ＝，若|－|＝|－|，则四边形ABCD是(　　) A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不确定 B　解析：由＝，可得四边形ABCD为平行四边形，由|－|＝|－|，可得||＝||，故平行四边形ABCD为矩形． 对于平行四边形、菱形、矩形、正方形对角线具有的性质要熟悉并会应用．基本思路是：先对向量条件化简、转化，再找(作)图形(三角形或平行四边形)，确定图形的形状，利用图形的几何性质求解 [训练3]　若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|－＋－|. 证明：△ABC是直角三角形． 证明：因为－＋－＝＋， －＝＝－， 又|－|＝|－＋－|， 所以|－|＝|＋|， 所以以AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，所以此平行四边形为矩形， 所以AB⊥AC，所以△ABC是直角三角形． [对应学生用书P92] 1．在△ABC中，＝a，＝b，则＝(　　) A．a＋b　　　　　 B．a－b C．b－a D．－a－b 答案：C 2．非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是(　　) A．m＝n B．m＝－n C．|m|＝|n| D．方向相反 答案：A 3．化简－＋＋的结果等于(　　) A． B． C． D． 答案：B 4．若菱