5.3.2 事件之间的关系与运算（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教B版2019）

5.3.2　事件之间的关系与运算 课程标准 学科素养 1.了解随机事件的并、交与互斥的含义． 2．能结合实例进行随机事件的并、交运算． 3．学会用集合的关系与运算探究事件的关系与运算． 通过对事件之间的关系与运算的学习，强化数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养． [对应学生用书P62] 1．一般地，如果事件A发生时，事件B 一定发生，则称“A包含于B”(或“B包含A”)，记作A⊆B(或B⊇A). 2．A⊆B也可用充分必要的语言表述为：A发生是B发生的充分条件，B发生是A发生的必要条件． 3．如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“A与B相等”，记作A＝B.不难看出A＝B⇔A⊆B且B⊆A，A＝B也可用充分必要的语言表述为：A发生是B发生的充要条件． 4．当A⊆B时，有P(A)≤P(B).当A＝B时，有P(A)＝P(B). 同时抛掷两枚硬币，朝上的面都是正面为事件M，朝上的面至少有一枚是正面为事件N，则有(　　) A．M⊆N　 B．M⊇N　 C．M＝N　 D．M<N A　解析：因为事件M＝{(正，正)}，N＝{(正，反)，(反，正)，(正，正)}，当M发生时，事件N一定发生．所以有M⊆N. 1．给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和(或并)，记作A＋B(或A∪B).事件A＋B发生时，当且仅当事件A与事件B中至少有一个发生． 2．P(A＋B)≤P(A)＋P(B). 　抛掷一枚均匀的正方体骰子，事件P＝“向上的点数是1”，事件Q＝“向上的点数是3或4”，用集合表示P∪Q＝________． {1，3，4}　解析：因为事件P＝{1}，Q＝{3，4}， 所以P∪Q＝{1，3，4}． 1．给定事件A，B，由A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积(或交)，记作AB(或A∩B).事件AB发生时，当且仅当事件A与事件B都发生． 2．P(AB)≤P(A)，P(AB)≤P(B). 　抛掷一枚均匀的正方体骰子，事件Q＝“向上的点数是3或4”，M＝“向上的点数是1或3”，用集合表示M∩Q＝________． {3}　解析：因为事件Q＝{3，4}，M＝{1，3}， 所以M∩Q＝{3}． 1．给定事件A，B，若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥，记作AB＝∅(或A∩B＝∅).任意两个基本事件都互斥的，∅与任意事件互斥． 2．互斥事件的概率加法公式：P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，一般地，如果A1，A2，…，An是两两互斥的事件，则 P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 3．给定样本空间Ω与事件A，则由Ω中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的对立事件，记作.如果B＝，则称A与B相互对立． 4．对立事件的概率公式：P(A)＋P()＝1． 1．思考辨析 (1)互斥的事件一定是对立事件．(　　) (2)事件A的对立事件，相当于集合A在全集U中的∁UA补集．(　　) 答案：(1) ×　(2)√ 2．把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四人，每人分得一张，那么事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是(　　) A．对立事件 B．互斥但不对立事件 C．必然事件 D．不可能事件 B　解析：“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不能同时发生，故它们是互斥事件，又甲、乙可能都得不到红牌，即“甲或乙分得红牌”事件可能不发生．∴它们不是对立事件． [对应学生用书P63] 掷一枚骰子，观察朝上的面的点数．设事件A＝“出现1点”，B＝“出现偶数点”，C＝“点数小于3”，D＝“点数大于2”，E＝“点数是3的倍数”． 求：(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件； (2)事件A与C，C与D，D与E之间各有什么关系？ (3)用集合的形式表示，C，∪C，＋. 解：(1)因为掷一枚骰子，试验的结果为1，2，3，4，5，6，所以试验的样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}，事件A＝{1}，B＝{2，4，6}，C＝{1，2}，D＝{3，4，5，6}，E＝{3，6}． (2)因为A⊆C，所以事件C包含事件A；因为C∩D＝∅，C∪D＝Ω，所以事件C与事件D互为对立事件；因为D⊇E，所以事件D包含事件E. (3)＝{1，2}，C＝{2}，∪C＝{1，2，3，5}，D∩E＝{3，6}，＋＝{1，2，4，5}． 进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是写出试验的样本空间及各事件的集合表示，利用集合间的运算判断事件间的运算，必要时可利用Venn图判断． [训练1]　盒子里有6个红球，3个白球，现从中任取三个球，设事件A＝“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B＝“3个球中有2个红球，1个白球”，事件C＝“3个球中至少有1个红球”，事件D＝“3个球中既有红球又有白球