4.3.1 第2课时 相关系数（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

第2课时　相关系数 课程标准 核心素养目标 1．结合实例，了解相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系． 2．结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性． 1．了解两个变量间的线性相关系数r，并能利用公式求相关系数r.(数学抽象、数学运算) 2．能利用相关系数r判断两个变量线性相关程度的大小，从而判断回归直线方程拟合的效果．(数据分析、数学运算、数学抽象) 3．掌握非线性回归转化为线性回归的方法，会求非线性回归方程，并作出预测．(数据分析、数学运算) 1．相关系数 (1)定义：统计学里一般用r＝＝来衡量y与x的线性相关性强弱，这里的r称为线性相关系数(简称为相关系数). (2)性质 ①|r|≤1，且y与x正相关的充要条件是r>0，y与x负相关的充要条件是r<0． ②|r|越小，说明两个变量之间的线性相关性越弱，也就是得出的回归直线方程越没有价值，即方程不能反映真实的情况；|r|越大，说明两个变量之间的线性相关性越强，也就是得出的回归直线方程越有价值． ③|r|＝1的充要条件是成对数据构成的点都在回归直线上． [微练1]判断正误 (1)求回归直线方程前必须进行相关性检验．(　　) (2)两个变量的相关系数越大，它们的相关程度越强．(　　) (3)若相关系数r＝0，则两变量x，y之间没有关系．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)× [微练2]若回归直线方程中的回归系数＝0，则相关系数r＝________． 0　解析：相关系数r＝ 与回归系数＝ 两者的分子相同，故r＝0. 2．非线性回归方程 如果具有相关关系的两个变量x，y不是线性相关关系，那么称为非线性相关关系，所得到的方程称为非线性回归方程(也简称为回归方程). [微练3]以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出回归直线方程，设z＝ln y，其变换后得到回归直线方程＝0.3x＋4，则c＝________． e4　解析：由题意，得ln (cekx)＝0.3x＋4，所以ln c＋kx＝0.3x＋4，所以ln c＝4，解得c＝e4. 知识点一　相关系数的性质 (1)在一组数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若这组样本数据的相关系数为－1，则所有的样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)满足的方程可以是(　　) A．y＝－x＋1 B．y＝x－1 C．y＝x＋1 D．y＝－x2 (2)设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线方程的回归系数为，回归截距是，那么必有(　　) A．与r的符号相同 B．与r的符号相同 C．与r的符号相反 D．与r的符号相同 (1)A　(2)A　解析：(1)∵这组样本数据的相关系数为－1，∴这一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…(xn，yn)线性相关，且是负相关，∴可排除D，B，C，故选A． (2)由公式可知与r的符号相同． 线性相关强弱的判断方法 (1)散点图(越接近直线，相关性越强)； (2)相关系数(绝对值越大，相关性越强). (多选)对两个变量的样本相关系数r，下列说法正确的是(　　) A．|r|越大，相关程度越大 B．|r|越小，相关程度越大 C．|r|趋近于0时，没有线性相关关系 D．|r|越接近1时，线性相关程度越强 AD　解析：对于A，|r|越大，相关程度越大，A正确；对于B，|r|越小，相关程度越小，B错误；对于C，|r|趋近于0时，线性相关关系越弱，C错误；对于D，|r|越接近1时，线性相关程度越强，D正确．综上，正确的是AD． 知识点二　相关系数的应用 某厂的生产原料耗费x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下的对应关系： x 2 4 6 8 y 30 40 50 70 (1)计算x与y之间的相关系数，并求其回归直线方程； (2)若实际销售额不少于80百万元，则原料耗费应该不少于多少？ 解：(1)画出(x，y)的散点图如图所示， 由图可知x，y有线性相关关系． ＝5，＝47.5，x＝120，y＝9 900，xiyi＝1 080， 故相关系数r＝ ＝≈0.982 7. ＝＝＝6.5， ＝－＝47.5－6.5×5＝15. 故回归直线方程为＝6.5x＋15. (2)由回归直线方程知， 当≥80，即6.5x＋15≥80时，x≥10. 故原料耗费应不少于10百万元． 根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y(百千克)与某种液体肥料每亩使用量x(千克)之间的对应数据的散点图如图所示． (1)依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数r并加以说明(若|r|>0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)； (