4.2.5 正态分布（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

4．2.5　正态分布 课程标准 核心素养目标 1．通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量． 2．通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征． 3．了解正态分布的均值、方差及其含义． 1．理解正态分布概念．(数学抽象) 2．掌握正态分布的定义，会利用正态分布解决实际问题．(数学运算) 3．了解正态分布与标准正态分布的转换，能利用标准正态分布表求得标准正态分布在某一区间内取值的概率．(数学抽象、数学建模) 1．正态曲线及其性质 (1)正态曲线的定义 一般地，函数φ(x)＝e对应的图像称为正态曲线，其中μ＝E(X)，σ＝． (2)正态曲线的性质 ①正态曲线关于x＝μ对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高、两边低的特点； ②正态曲线与x轴所围成的图形面积为1； ③σ决定正态曲线的“胖瘦”：σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”；σ越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”． (1)正态曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线在x＝μ时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，其图像“中间高，两边低”； (3)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； (4)正态曲线完全由变量μ和σ确定，参数μ是反映随机变量的平均水平的特征数，所以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计． [微练1]若f(x)＝e，x∈R，则f(x)(　　) A．有最大值，也有最小值 B．有最大值，但无最小值 C．无最大值，也无最小值 D．有最小值，但无最大值 B　解析：当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝＝.无最小值． [微练2]正态分布密度函数为φμ，σ(x)＝e，x∈(－∞，＋∞)，则总体的均值和标准差分别是(　　) A．0和8 B．0和4 C．0和2 D．0和 C　解析：由条件可知μ＝0，σ＝2. [微练3]把一条正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线b，下列说法中不正确的是________．(填序号) ①曲线b仍然是正态曲线； ②曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等； ③以曲线b为正态分布的总体的方差比以曲线a为正态分布的总体的方差大2； ④以曲线b为正态分布的总体的均值比以曲线a为正态分布的总体的均值大2. ③　解析：正态曲线向右平移2个单位，σ不发生变化，故③错误． 2．正态分布 (1)一般地，如果随机变量X落在区间[a，b]内的概率，总是等于φμ，σ(x)对应的正态曲线与x轴在区间[a，b]内围成的面积，则称X服从参数为μ与σ的正态分布，记作X～N(μ，σ2)，此时φμ，σ(x)称为X的概率密度函数． (2)正态分布在三个特殊区间内取值的概率值： P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%． P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%． P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%． 如果X～N(μ，σ2)，那么P(X≤μ)与P(X≥μ)之间满足P(X≤μ)＝P(X≥μ)＝. [微练4]关于正态分布N(μ，σ2)，下列说法正确的是________．(填序号) ①随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件； ②随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件； ③随机变量落在[－3σ，3σ]之外是一个小概率事件； ④随机变量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一个小概率事件． ④　解析：∵P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝0.997，∴P(X＞μ＋3σ或X＜μ－3σ)＝1－P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝1－0.997 ＝0.003，∴随机变量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一个小概率事件． [微练5]在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ>0).若X在(0，1)内取值的概率为0.4，则X在(0，2)内取值的概率为________． 0.8　解析：∵X服从正态分布(1，σ2)，∴X在(0，1)与(1，2)内取值的概率相同，均为0.4.∴X在(0，2)内取值的概率为0.4＋0.4＝0.8. 3．标准正态分布 (1)定义：μ＝0且σ＝1的正态分布称为标准正态分布，记作X～N(0，1). (2)概率计算方法： 如果X～N(0，1)，那么对于任意a，通常记Φ(a)＝P(x＜a)，其中Φ(a)表示N(0，1)对应的正态曲线与x轴在区间(－∞，a)内所围的面积． 特别地，Φ(－a)＋Φ(a)＝1． 知识点一　正态曲线及其性质 某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是(　　) A．甲科总体的标准差最小 B．丙科总体的平均数最小 C．乙科总体的标准差及平均数都居中 D．甲、乙、丙的总