4.2.2 离散型随机变量的分布列（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

4．2.2　离散型随机变量的分布列 课程标准 核心素养目标 通过具体实例，理解离散型随机变量的分布列． 1．理解离散型随机变量的分布列的概念与性质．(数学抽象) 2．会求简单的离散型随机变量的分布列．(数学运算、数学抽象) 3．理解两点分布的定义，并能简单运用．(数学抽象、数学运算) 1．离散型随机变量的分布列 (1)定义：一般地，当离散型随机变量X的取值范围是{x1，x2，…，xn}时，如果对任意k∈{1，2，…，n}，概率P(X＝xk)＝pk都是已知的，则称X的概率分布是已知的．离散型随机变量X的概率分布也可以用如下形式的表格表示，这个表格称为X的概率分布或分布列． X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn (2)性质： ①pk≥0，k＝1，2，3，…，n； ②pk＝p1＋p2＋…＋pn＝1． 离散型随机变量分布列的意义和作用 (1)离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且能看出取每一个值的概率的大小，从而反映出随机变量在随机试验中取值的分布情况，是进一步研究随机试验数量特征的基础． (2)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和． [微练1]设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝i)＝a()i，i＝1，2，3，则a的值为(　　) A．1 B． C． D． C　解析：由分布列的性质，得a(＋＋)＝1，解得a＝. 2．两点分布与伯努利试验 (1)两点分布：如果随机变量X的分布列为 X 1 0 P p 1－p 则这个随机变量服从参数为p的两点分布(或0－1分布). (2)伯努利试验：一个所有可能结果只有两种的随机试验，通常称为伯努利试验． 两点分布也常称为伯努利分布，p也常被称为成功概率． 因为伯努利试验的结果只有两种，如果将其分别看成“成功”与“不成功”，并设“成功”出现的概率为p，因此伯努利试验中“成功”出现的次数X服从参数为p的两点分布． [微练2]若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2，令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝________． 0.8　解析：由Y＝－2可知3X－2＝－2，即X＝0， ∴P(Y＝－2)＝P(X＝0)＝0.8. 知识点一　判断随机试验中的随机变量 设随机变量X的分布列P(X＝)＝ak(k＝1，2，3，4，5). (1)求常数a的值； (2)求P(X≥). 解：(1)由题意，所给分布列为 X 1 P a 2a 3a 4a 5a 由分布列的性质得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，解得a＝. (2)方法一　P(X≥)＝P(X＝)＋P(X＝)＋P(X＝1)＝＋＋＝. 方法二　P(X≥)＝1－P(X≤)＝1－(＋)＝. [探究]　若本例条件不变，求P(<X<). 解：∵<X<，∴X＝，，. ∴P(<X<)＝P(X＝)＋P(X＝)＋P(X＝)＝＋＋＝. 分布列的性质及其应用 (1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数． (2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式． 已知离散型随机变量X的分布列如下表： X 0 1 P 4a－1 3a2＋a 求常数a及相应的分布列． 解：由分布列的性质，可知3a2＋a＋4a－1＝1， 即3a2＋5a－2＝0，解得a＝或a＝－2. 又因4a－1>0，即a>，故a≠－2. 所以a＝，此时4a－1＝，3a2＋a＝. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 P 知识点二　求离散型随机变量的分布列 袋中装有编号为1～6的同样大小的6个球，现从袋中随机取3个球，设ξ表示取出3个球中的最大号码，求ξ的分布列． 解：根据题意，随机变量ξ的所有可能取值为3，4，5，6. ξ＝3，即取出的3个球中最大号码为3，其他2个球的号码为1，2，所以P(ξ＝3)＝＝； ξ＝4，即取出的3个球中最大号码为4，其他2个球只能在号码为1，2，3的3个球中取， 所以P(ξ＝4)＝＝； ξ＝5，即取出的3个球中最大号码为5，其他2个球可以在号码为1，2，3，4的4个球中取， 所以P(ξ＝5)＝＝； ξ＝6，即取出的3个球中最大号码为6，其他2个球可以在号码为1，2，3，4，5的5个球中取， 所以P(ξ＝6)＝＝. 所以随机变量ξ的分布列为 ξ 3 4 5 6 P 求离散型随机变量分布列的三个关键点 (1)随机变量的取值； (2)每一个取值所对应的概率； (3)用所有概率和是否为1来检验． 袋中有8个大小相同的小球，其中1个黑球，3个白