4.2.1 随机变量及其与事件的联系（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

4．2　随机变量 4．2.1　随机变量及其与事件的联系 课程标准 核心素养目标 在具体问题的分析中理解取有限值的离散型随机变量的概念． 1．理解随机变量及离散型随机变量的含义．(数学抽象) 2．能写出离散型随机变量的取值，并能解释其表示的事件．(数学抽象) 3．理解随机变量之间的关系，会求简单的离散型随机变量的概率．(数学抽象、数学运算) 1．随机变量 定义 一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量X都对应有唯一确定的实数值，就称X为一个随机变量 表示 随机变量一般用大写英文字母X，Y，Z，…或小写希腊字母ξ，η，ζ，…等表示 范围 随机变量所有可能的取值组成的集合，称为这个随机变量的取值范围 2.随机变量与事件的联系 一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是任意实数，那么X＝a，X≤b，X>b等都表示事件，而且： (1)当a≠b时，事件X＝a与X＝b互斥； (2)事件X≤a与X>a相互对立，因此P(X≤a)＋P(X>a)＝1． [微练1]若P(X≤1)＝0.7，则P(X＞1)＝________． 0.3　解析：∵P(X≤1)＋P(X＞1)＝1， ∴P(X＞1)＝1－P(X≤1)＝1－0.7＝0.3. 3．离散型随机变量 取值特点 一一列出 对于随机变量所有可能取的值都能一一列举出来 有限性 离散型随机变量只取有限个值 [微练2]下列变量中，是离散型随机变量的是(　　) A．到2021年10月1日止，我国发射的人造地球卫星 B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高 C．某人在车站等出租车的时间 D．某人投篮10次，可能投中的次数 D　解析：离散型随机变量的取值是可以按一定次序一一列举的，结合选项可知D正确． [微练3]一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取得合格品之前取出的次品数ξ的所有可能取值是________． 0，1，2，3　解析：因为一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，所以在取得合格品之前取出的次品数ξ的所有可能取值是0，1，2，3. 4．随机变量之间的关系 一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是实数且a≠0，则Y＝aX＋b也是一个随机变量． 由于X＝t的充要条件是Y＝at＋b，因此P(X＝t)＝P(Y＝at＋b)． [微练4]若P(X＝1)＝0.6，随机变量Y＝2X＋1，则P(Y＝3)＝________． 0.6　解析：因为Y＝3＝2×1＋1，所以P(Y＝3)＝P(X＝1)＝0.6. 知识点一　判断随机试验中的随机变量 下列变量中，不是随机变量的是(　　) A．一射击手射击一次命中的环数 B．标准状态下，水沸腾时的温度 C．抛掷两颗骰子，所得点数之和 D．某电话总机在时间区间(0，t)内收到的呼叫次数 B　解析：因为在标准状态下，水沸腾时的温度是一个常量，所以不是随机变量．故选B． 随机变量的辨析方法 (1)随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同． (2)随机试验的结果具有确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果． 如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量． 指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由． (1)某座大桥一天经过的车辆数X； (2)某超市5月份每天的销售额； (3)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ. 解：(1)车辆数X的取值可以一一列出，故X为离散型随机变量． (2)某超市5月份每天销售额可以一一列出，故为离散型随机变量． (3)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量． 知识点二　随机变量的取值范围及应用 写出下列随机变量的取值范围． (1)张大爷在环湖线路旁种了10棵树苗，设成活的树苗为ξ； (2)抛掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数ξ； (3)一袋中装有5只同样大小的球，编号为1，2，3，4，5，现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ； (4)电台在每个整点都报时，报时所需时间为0.5分钟，某人随机打开收音机对时间，他所等待的时间ξ分钟． 解：(1)ξ的取值范围为{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}． (2)ξ的取值范围为{1，2，3，4，5，6}． (3)ξ的取值范围为{3，4，5}． (4)ξ的取值范围为[0，59.5]. [探究]　本例(1)中，若每成活一棵树，政府给予补贴5元，试写出张大爷获得补贴Y元与成活树苗ξ的关系，并指出Y的取值范围． 解：由题意可知Y＝5ξ，ξ∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}． 故Y的取值范围为{0，5，10，15，20，25，30，35，40，45，50}． 随机变量的取值范围类似