3.1.2 椭圆的几何性质（10大题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年高二数学同步讲与练（苏教版2019选择性必修第一册）

3.1.2 椭圆的几何性质 一、椭圆的简单几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 ， ， 对称性 关于轴、原点对称 轴长 长轴长：；短轴长： 长轴长：；短轴长： 顶点 离心率 离心率越接近1，则椭圆越圆；离心率越接近0，则椭圆越扁 通径 通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长 通径的大小： 二、点与椭圆的位置关系 焦点在x轴上 焦点在y轴上 点在椭圆内 点在椭圆上 点在椭圆外 三、直线与椭圆的位置关系 1、直线与椭圆的位置关系： 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 2、解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程； （3）写出根与系数的关系； （4）将所求问题或题中关系转化为关于，的形式； （5）代入求解． 四、直线与椭圆相交的弦长公式 1、定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． 2、求弦长的方法 （1）交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． （2）根与系数的关系法： 如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则弦长公式为： 五、解决椭圆中点弦问题的两种方法： 1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； 2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有。 证明：设、，则有， 上式减下式得，∴， ∴，∴。 特殊的：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，则有。 题型一 由椭圆方程研究其几何性质 【例1】（2024·宁夏银川·高二期中）（多选）已知椭圆：.则下列结论正确的是（ ） A．长轴为6 B．短轴为4 C．焦距为 D．离心率为 【变式1-1】（2023·全国·高二专题练习）（多选）关于椭圆有以下结论，其中正确的有（ ） A．离心率为 B．长轴长是 C．焦距2 D．焦点坐标为 【变式1-2】（2024·浙江温州·高二期中）已知曲线表示椭圆，下列说法正确的是（ ） A．m的取值范围为 B．若该椭圆的焦点在y轴上，则 C．若，则该椭圆的焦距为4 D．若椭圆的离心率为，则 【变式1-3】（2024·重庆·高二期中）椭圆与椭圆的（ ） A．长轴相等 B．短轴相等 C．焦距相等 D．离心率相等 题型二 由椭圆几何性质求标准方程 【例2】（2024·河南开封·高二期中）已知椭圆C的焦点在轴上，长轴长是短轴长的3倍，且经过点，则的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·重庆·高二期中）已知是椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，若的周长为6.且椭圆的离心率为，则椭圆方程为（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023秋·高二课时练习）已知中心在原点，以坐标轴为对称轴，椭圆过点且与椭圆有公共的焦点，求椭圆的标准方程． 【变式2-3】（2023秋·重庆·高二校考阶段练习）焦点在轴上且中心为原点的椭圆与椭圆：离心率相同，且，在第一象限内公共点的横坐标为1，则的方程 题型三 求椭圆离心率的值 【例3】（2024·四川成都·高二期中）若椭圆C：的短轴长为2，则椭圆C的离心率为 ． 【变式3-1】（2024·江苏南通·高二阶段练习）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆于点，且，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2023秋·高二课时练习），是椭圆E：的左，右焦点，点M为椭圆E上一点，点N在x轴上，满足，，则椭圆E的离心率为 . 【变式3-3】（2023·江苏·高二专题练习）设，分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为 . 题型四 求椭圆离心率的取值范围 【例4】（