3.2.1 双曲线的标准方程（6大题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年高二数学同步讲与练（苏教版2019选择性必修第一册）

3.2.1 双曲线的标准方程 一、双曲线的定义 1、定义：在平面内与两个定点、的距离之差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线. 2、焦点：两个定点、 3、焦距：两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为. 4、双曲线就是下列点的集合：． 5、要点注意： （1）若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件： （），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； （2）若常数满足约束条件：， 则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； （3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； （4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 二、双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在轴 焦点在轴 图形 标准方程 焦点坐标 、 、 的关系 三、待定系数法求双曲线标准方程的方法 四、由双曲线标准方程求参数范围 1、对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线. 2、对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线. 3、已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围。 五、求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积。 （2）利用公式求得面积； （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积， 这一结论适用于选择或选择题。 题型一 对双曲线定义的理解 【例1】（2023·全国·高三专题练习）已知动点满足，则动点的轨迹是（ ） A．射线 B．直线 C．椭圆 D．双曲线的一支 【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知点，，则在平面内满足下列条件的动点P的轨迹为双曲线的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024上·河南焦作·阶段练习）（多选）平面内到两定点、的距离之差的绝对值等于常数2a的点M的轨迹（ ） A．椭圆 B．一条直线 C．两条射线 D．双曲线 【变式1-3】（2023·全国·高二专题练习）双曲线上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为（ ） A．1或21 B．14或36 C．2 D．21 题型二 求双曲线的标准方程 【例2】（2024·全国·高三专题练习）已知点，动点满足，则动点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023上·浙江杭州·高二期末）已知双曲线经过点，且与椭圆有相同的焦点，则双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·江苏·高二假期作业）下列选项中的曲线与共焦点的双曲线是（ ） A． B．1 C．1 D．1 【变式2-3】（2022·高二课时练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）一个焦点为，且经过点； （2）与双曲线有相同的焦点，且经过点； （3）经过和两点． 题型三 由双曲线的方程求参数 【例3】（2024·全国·高三专题练习）已知方程表示的焦点在y轴的双曲线，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023·上海·三模）已知曲线是焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 ． 【变式3-2】（2024上·宁夏银川·期中）若方程表示双曲线，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2023秋·江苏无锡·高二校考阶段练习）（多选）已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ） A．当时，曲线C是椭圆 B．当或时，曲线C是双曲线 C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D．若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则 题型四 双曲线的焦点三角形问题 【例4】（2021秋·广东深圳·高二校考期中）若椭圆与双曲线有相同的焦点，，P是两曲线的一个交点，则的面积是（ ） A． B．t C．2t D．4t 【变式4-1】（2023秋·高二课时练习）已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线分别交双曲线的左右两支于两点，且，则（ ） A．