4.3.2 等比数列的前n项和讲义-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五节 等比数列的前项和 知识清单 1．等比数列的前项和公式 （1），注意对公比的讨论； （2）； （3）数列是等比数列的一个等价条件是：． 2．与有关的等比数列 为等边数列的前项和，则是等比数列，公比为． 3．等比数列前项积的最值问题 已知数列是等比数列 （1）当时，有最小值，找临界项即可； （2）当时，有最大值，找临界项即可； （3）当时，考虑最值时要注意正负问题． 4．等比数列的奇偶项 （1）若项数为，则 ； （2）若项数为，则． 题型训练 题型一 等比数列的前项和 1．已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（ ） A．16 B．8 C．4 D．2 2．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则（ 　） A． B． C． D． 3．已知在等比数列中，，公比，则其前4项和　 　 4．在数列中，，，为的前项和，若，则　 　 5．记为等比数列的前项和．若，，则　 　 6．等比数列的各项均为实数，其前项和为，若，，则　　 题型二 等比数列的前项和的实际运用 将题中的数据转换为等比数列中的相关量，然后在进行计算 7．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（　　） A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 8．《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长四尺，莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．意思是：今有蒲第一天长高四尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的两倍．请问第几天，莞的长度是蒲的长度的4倍（　　） A．4天 B．5天 C．6天 D．7天 9．我国古代数典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚二十尺，两 鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”上述问题中，两鼠在第 几天相逢（ ） A．3天 B．4天 C．5天 D．6天 10．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量的“环 权”．已知9枚环权的质量从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7 项成等比数列，且，，，则　 　，数列的所有项的和为　　 题型三 等比数列前项积的最值问题 11．在等比数列中，，，当取得最小值时，（ ） A．4 B．5 C．5 D．6 12．设等比数列满足，，则的最大值为（ ） A．32 B．64 C．128 D．256 13．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，若，，则下列结论正确的是（ ） A．>1 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 14．已知数列的通项公式为，则取得最大值时 题型四 与有关的等比数列 15．已知等比数列前10项的和为10，前20项的和为30，那么前30项的和为（ ） A．60 B．70 C．90 D．120 16．已知为等比数列的前项和，若，则（ ） A． B． C． D． 17．已知为等比数列的前项和，，，则 　 18．已知为等比数列的前项和，，，则 　 题型五 等比数列衍生数列的前项和 19．已知在等比数列的通项公式为． （1） 　 （2） 　 20．已知在等比数列的通项公式为． （1）= 　 （2）= 　 题型六 等差数列与等比数列综合 根据题中信息，利用等差中项与等比中项，建立相应的方程或者方程组 21．已知公差为2的等差数列的前项和为，，，成等比数列，则的最小值为（ 　 ） A． B． C． D． 22．在等差数列中，，，，成等比数列，则该数列公差（　 　） A．0 B． C．0或 D．0或2 23．设有四个数的数列，该数列前3项成等比数列，其和为，后3项成等差数列，其和为6．则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 24．设为等比数列的前项和，若，且成等差数列，则　 25．设