第二节 等差数列及其性质讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第二节 等差数列及其性质 知识清单 1.等差数列的定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母表示. 符号表示: (1)定义式:; (2)递推式与中项式:. 2.等差数列的通项公式 (1); (2) ,可根据公式求出. 3.等差数列的性质 (1)若成等差数列,则叫做与的等差中项,. (2)若,则(满足左右项数相同), 若,则. (3)若数列为等差数列,则数列()是等差数列. (4)若数列为等差数列,则数列()是等差数列. (5)若数列均为等差数列,则数列()是等差数列. 4.等差数列与一次函数 由等差数列的通项公式,可知一个数列是等差数列的等价条件:(为常数),即是关于的一次函数,因为,所以关于的图象是一次函数图象的分点表示形式. 题型训练 题型一 等差数列的概念 1.若数列满足,则数列的公差为( ) A.1 B. C. D. 2.已知等差数列的通项公式,则等差数列的公差( ) A. B. C.3 D.4 3.已知等差数列为递增数列,则下列数列不一定为递增数列的为( ) A. B. C. D. 4.已知数列为等差数列,则下列数列一定为等差数列的有 ①;②;③;④;⑤;⑥ 题型二 等差数列的通项公式及其应用(这三个量的关系) 5.在等差数列中,,,则的公差( ) A.2 B.3 C. D. 6.在数列中,,,若,则( ) A.7 B.8 C.9 D.10 7.已知等差数列各项都不相等,,且,则公差( ) A. B.1 C. D.或2 8.若首项为的等差数列从第10项起为正数,则公差的取值范围是( ) A. B. C. D. 9.在等差数列中,,,则 10.在等差数列中,,则 11.已知1,,,9成等差数列,则实数 12.若等差数列的前三项分别为,则该数列的通项公式为 题型三 等差数列的性质 13.在等差数列中,,,则( ) A.39 B.76 C.78 D.117 14.在等差数列中,,则( ) A.45 B.75 C.180 D.300 15.已知等差数列的前三项为,则此数列的第四项为( ) A.9 B.10 C.12 D.13 16.在等差数列中,,则 17.在等差数列中,,,则 18.已知等差数列中,公差,,则 题型四 等差数列的实际运用 19.《九章算术》中的“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共4升,下面3节的容积共6升,则第5节的容积是( ) A. B. C. D. 20.《九章算术•均输》中有如下问题:“今有五人分十钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分10钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位).这个问题中,甲所得为( ) A.钱 B.钱 C.钱 D.钱 题型五 两个等差数列的公共项 21.已知数列,均为等差数列,且,,将它们的公共项按从小到大顺序排列,则公共项的第6项为( ) A.71 B.86 C.93 D.101 22.已知等差数列:2,5,8,与等差:1,5,9,,则它们的公共项按照从小到大的顺序排列得到的数列的通项公式是 题型六 构造与证明等差数列 (1)对于与的形式,左右取倒或同除可得等差数列. (2)证明等差数列,用等差数列的定义,即证. 23.在数列中,,.若为等差数列,则( ) A. B. C. D. 24.在数列中,已知,且数列是等差数列,则a4等于( ) A. B. C. D. 25.在数列中,已知,且数列是等差数列,则a4等于( ) A.36 B.81 C.108 D.324 26.已知正项数列满足,,则 27.在数列中,,,则 28.在数列中,,,则数列通项公式 29.已知数列满足,且,.证明数列是等差数列,并求出数列的通项公式. 30.在数列中,,,若数列满足. (1)求证数列是等差数列; (2)求数列中的最大项与最小项. 第二节 等差数列及其性质参考答案 题型一 等差数列的概念 1-3 D, A ,B 4.①② ③ ⑥ 题型二 等差数列的基本量计算 5-8 B,C,A,D 9-12 6,0,, 13-15 C,C,D 16-18 4,63, 题型四 等差数列的实际运用 19-20 C,C 题型五 两个等差数列的公共项 21-22 B, 题型六 构造与证明等差数列 23-25 C,A,D 26-28 , , 29., 30.,,最大项,最小项 学科网(北京)股份有限公司 $$