第二章 § 2从位移的合成到向量的加减法-【重难点手册】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（北师大版）

重避手细高中数学必修第二册BS> §2从位移的合成到向量的加减法 更点和难点 课标要求 1.向量的加法运算可以类比实数的加法运算，以位移的合 重点：1.向量加法的定义及其几何意义 成、力的合成两个物理模型为背景引入，而向量的减法运算是通 2.向量减法的定义及其几何意义。 过类比实数的减法运算引入的。 难点：向量加法的交换律与结合律. 2.由于向量有方向，因此在进行向量运算时，不但要考虑向 量的大小问题，还要考虑向量的方向问题， 」01以备知识梳理 基础梳理 作电@ 知识点1向量的加法 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 1.向量加法的定义 的区别与联系 求两个向量和的运算，称为向量的加法. 法则 三角形法则 平行四边形法则 2.向量加法的几何意义 (1)强调“首尾相连”：(1)强调“共起点” 区别(2)适用于所有的非零 (2)仅适用于不共线 (1)平行四边形法则 向量求和 的两个向量求和 已知两个不共线的向量a,b,如图1，在平 当两个向量不共线时，三角形法则和平行四 面内任取一点A,作有向线段AB=a,AD=b, 联系边形法则的实质是一样的，三角形法则作出 的图形是平行四边形法则作出的图形的一半 以有向线段AB和AD为邻边作☐ABCD,则 有向线段AC表示的向量即为向量a与b的 (3)多边形法则 和，记作a十b.这种求两个向量和的作图方法 向量求和的三角形法则，可推广至多个向 称为向量加法的平行四边形法则 量求和的多边形法则.求n个向量a1,ag,…,a 的和可按照以下步骤进行：任取一点O,依次作 D a+b 6 a+b 有向线段OA=a1,AA=a2,…,An1A=a, 0 B OA即为这n个向量之和. 图1 图2 特别地，当A.与O重合时，OA+AA (2)三角形法则 十…十An-1A.=0. 如图2，作有向线段AB=a,以有向线段 3.共线向量的和 AB的终点为起点，作有向线段BC=b,连接 若a,b共线，则图1和图2表示两个共线 A,C得到有向线段AC,也可以表示向量a与b 向量求和的情形. 的和.这种求两个向量和的作图方法称为向量 也就是说，若两个共线向量方向相同，则 加法的三角形法则， 它们的和向量方向与原方向一致，大小为两个 86 第二章平而向量及其应用么出 向量大小之和（如图1）：若两个共线向量方向 的运算，叫作向量的减法。 相反且大小不相等，则它们的和向量方向与模 2.向量减法的几何意义 较长的向量的方向一致，大小是两个向量大小 (1)非零不共线向量a,b的差为a一b. 差的绝对值（如图2） 如图所示，在平面内任取一点O,作OA= → a,OB-b,则BA-OA-OB=a-b,即a-b可 b b 以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的 ab a 向量，这是向量减法的几何意义， a+b a+bb 图I 图2 步别用用 1.互为相反向量的两个向量的和为零 (2)非零共线向量a,b的差为a一b. 向量，即a十（一a)=0. ①当a,b反向时，则a一b与a同向，且 2.零向量与任一非零向量a的和为a, a一b=a十|b,如图1所示 即0十a=a. ②当a,b同向时，若|a>b1,则a一b与 4.向量加法的运算律 a同向，且|a一b=a-|b,如图2所示： (1)向量加法的交换律 若a<b,则a-b与a反向，且|a一 a+b=b+a. b=b一a,如图3所示： 如图1所示，作AB=a,AD=b,以AB, 若a=b,则a一b=0,如图4所示. AD为邻边作□ABCD,则AC-AB+BC a b a+b,AC-AD+DC=b+a,所以a十b=b+a. ab a-b 图1 图2 D b b atb a-b a-b=0 图3 图4 图1 图2 国难布展 (2)向量加法的结合律 重难点1向量形式的三角不等式 (a+b)+c=a+(b+c). (1)当向量a,b不共线时，作OA=a,AB 如图2所示，因为AD-AC+CD=(AB+ b,则a十b=OB,如图1，根据三角形的三边关 BC)+CD=(a+b)+c.AD=AB+BD=AB+ 系，有1Ia-|b<a+b<a+|b. (BC+CD)=a+(b+c),所以(a+b)+c=a+ a+b a (b+c). /b Oa A O a A bB a+b Bb A 知识点2向量减法的定义与减法法则 图I 图2 图3 1.向量减法的定义 (2)当a与b同向共线或a,b中至少有一 向量a减向量b等于向量a加上向量b的 个为零向量时，作法同上，如图2，此时|a十b1= 相反向量，即a一b=a十（一b),求两个向量差 |a十b:当a与b反向共线或a,b中至少有 87 国避手册高中数学必修第二册？S心 一个为零向量时，不妨设a>b,作法同上， 例I若非零不共线向量a,b满足|a十 如图3，此