专题02 解直角三角形实际应用的三种考法-【常考压轴题】2023-2024学年九年级数学下册压轴题攻略（北师大版）

专题02 解直角三角形实际应用的三种考法 类型一、仰角俯角问题 例．如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物的A，C两点测得该塔顶端F的仰角分别为和，矩形建筑物宽度，高度．则信号发射塔顶端到地面的高度（即的长）为多少？ 【变式训练1】．“蘑菇石”是我省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚B点先乘坐缆车到达观景平台观景，然后再沿着坡角为的斜坡由E点步行到达“蘑菇石”A点，“蘑菇石”A点到水平面的垂直距离为．如下图，，，，求斜坡的长度．（结果精确到，，，，，，）    【变式训练2】．国家跳台滑雪中心位于北京2022年冬奥会张家口赛区古杨树场馆群，是我国首座符合国际标准的冬奥会跳台滑雪场地．外观结构与中国传统吉祥物“如意”的S形曲线完美融合，因此，被形象地称为“雪如意”，在它的身上，体现了现代建筑与自然山水、历史文化的交相辉映，在这里举行的跳台滑雪分大跳台和标准台，大跳台A点出发区海拔1771米，着陆点U点海拔1635米，大跳台与标准台水平相距米，大跳台坡角，标准台坡角．求大跳台与标准台出发点落差是多少？（参考数据：，，；，，，结果保留整数．）    【变式训练3】．投影仪，又称投影机，是一种可以将图像或视频投射到幕布上的设备．如图①是屏幕投影仪投屏情景图，如图②是其侧面示意图，已知支撑杆与地面垂直，且的长为，脚杆的长为，距墙面的水平距离为，投影仪光源散发器与支撑杆的夹角，脚杆与地面的夹角，求光源投屏最高点与地面间的距离．（参考数据：，，，，结果精确到） 类型二、方位角问题 例．如图，湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东方向上，B在A的东北方向上，且在C的正南方向900米处．    (1)求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米．参考数据：）； (2)救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在7分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计） 【变式训练1】．小明在学习直角三角形的三角函数时发现： 如图1，在中，所对的边分别是a、b、c， ∵， （） ∴．小明猜想：在锐角三角形中也有相同的结论．    (1)如图2，在锐角三角形中，所对的边分别是a、b、c，请你运用直角三角形的三角函数的有关知识验证； (2)请你运用（1）中的结论完成下题：如图3，在南海某海域一货轮在B处测得灯塔A在货轮的北偏西的方向上，随后货轮以80海里/小时的速度按北偏东的方向航行，两小时后到达C处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西的方向上，求此时货轮与灯塔A的距离． 【变式训练2】．湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知B在C的正西方向，A在C的北偏西方向，B在A的南偏东方向1800米处．    (1)求湖岸A与码头C的距离（结果可含根号）； (2)救援船的平均速度为180米/分，快艇的平均速度为420米/分，在接到通知后，快艇能否在6分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）（参考数据：，，） 【变式训练3】．如图，渔船跟踪鱼群由西向东航行，远处有一个小岛A，在点测得小岛A在北偏东60°，航行60海里到达点，这时测得小岛在A在北偏东45°的方向上．    (1)若渔船不改变航线继续向东航行，距离A岛的最短距离是多少？（结果保留根号） (2)渔船行至点时，忽然发现油料短缺，遂就地停船休整，与此同时，在正东方向，距离点180海里的救援船前来救援，请问当小岛A、渔船和救援船所组成的三角形是直角三角形时，此时救援船距离小岛A有多远？（结果保留根号） 【变式训练4】．如图，是某景区一段坡度的上坡路段，为竖直（与水平面垂直）的监控立杆，点D处安装了摄像头，点A、B分别为摄像头的测速起点与终点．安装调试摄像头时，在摄像头D处测得点A的俯角为，点B的俯角为．已知米，点O、A、B、C、D、E、在同一平面内．    (1)求杆的高度；（精确到个位） (2)一辆小汽车从A点驶向B点，摄像头两次测速抓拍的时间间隔为秒．若，此路段的限速是40千米/小时，试判断这辆小汽车是否超速违章，并说明理由．（参考数据：，，，） 类型三、坡度问题 例．如图某中学依山而建，校门A处有一坡度的斜坡，长度为13米，在坡顶B处看教学楼的楼顶C的仰角是，离B点4米远的E处有一个花台，在E处看楼顶C的仰角是的延长线交校门处的水平面于点D．    (1)求坡顶B的高度； (