专题01 解直角三角形与几何综合的两种考法-【常考压轴题】2023-2024学年九年级数学下册压轴题攻略（北师大版）

专题01 解直角三角形与几何综合的两种考法 类型一、网格问题 例．将放置在的正方形网格中，顶点在格点上．则的值为 ．    例2．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点都在方格的格点上，则=（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】．如图，△ABC的顶点是正方形的格点，则sin∠BAC的值为 【变式训练2】．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，相交于点P，则的值为（    ）    A．3 B． C．1 D．2 【变式训练3】如图，的三个顶点都在边长是的小正方形的顶点上，则 ． 【变式训练4】．如图，在边长为1的小正方形网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，连接．    （1）的长为 ； （2）连接与相交于点，则的值是 ． 类型二、构造直角三角形问题 例1．如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 例2．如图，在四边形中，，，，．则的长的值为 ． 例3．如图，在矩形中，，连接，点在上，平分 ．    【变式训练1】．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 【变式训练2】．如图，在中，，，，则的长为 ，的面积为 ． 【变式训练3】．如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（    ） A． B．12 C． D．6 【变式训练4】．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 课后作业 1．如图，的三个顶点分别在边长为1的正方形网格上，则的值为 ． 2．如图，在正方形网格中，点A、B、O都在格点上，那么的值为 ．    3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，CE⊥AB，且AE=BE，连接DE，若AB=CD=CE=2，则tan∠DEC= ． 4．如图，在中，，点为的中点，于点，连接．已知.    (1)若，求的长度； (2)若，求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 解直角三角形与几何综合的两种考法 类型一、网格问题 例．将放置在的正方形网格中，顶点在格点上．则的值为 ．    【答案】/ 【分析】如图所示，连接，利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，进而得到，再根据45度角的正弦值为即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， 由网格的特点可知， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了求角的正弦值，勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，证明是等腰直角三角形是解题的关键． 例2．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点都在方格的格点上，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长CB到格点D，连接AD，先算出AC、CD，根据余弦的定义求出∠C的余弦值即可． 【详解】解：延长CB到格点D，连接AD，如图所示： 根据格点特点可知AD⊥CD， ∴∠ADC=90°， ∴△ACD为直角三角形， ∵， ， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了在方格纸中求余弦值，作出辅助线，将∠C放在直角三角形中，是解题的关键． 【变式训练1】．如图，△ABC的顶点是正方形的格点，则sin∠BAC的值为 【答案】 【分析】找到方格点D，连接CD，由直角三角形逆定理得出三角形ADC为直角三角形，然后根据正弦函数的定义求解即可． 【详解】：找到方格点D，连接CD， 根据题意可得：AD2=12+12=2，， AC2=12+32=10，， CD2=22+22=8，， ∴AD2+ CD2=AC2， ∴∠ADC=90°， ∴， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查勾股定理及其逆定理，求角的正弦等，理解题意，找准直角三角形求解是解题关键． 【变式训练2】．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，相交于点P，则的值为（    ）    A．3 B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】首先连接，由题意易得，然后由相似三角形的对应边成比例，易得，即可得，在中，即可求得的值，继而求得答案． 【详解】解：如图，连接，    ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴． 故选：