专题19 解题技巧专题：二次根式中的化简求值压轴题七种模型全攻略-【常考压轴题】2023-2024学年八年级数学上册压轴题攻略(湘教版）

专题19 解题技巧专题：二次根式中的化简求值压轴题七种模型全攻略 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【类型一 利用二次根式的非负性求值】 1 【类型二 利用乘法公式进行计算】 5 【类型三 整体代入求值】 7 【类型四 新定义型运算】 11 【类型五 与二次根式有关的规律探究问题】 14 【类型六 二次根式的分母有理化】 22 【类型七 复合二次根式的化简】 26 【典型例题】 【类型一 利用二次根式的非负性求值】 例题：（2023春·江苏无锡·八年级校联考期末）已知则的值是 ． 【变式训练】 1．（2023春·广东肇庆·七年级校考期中）已知，则的算术平方根是 ． 2．（2023·全国·八年级假期作业）如果实数、满足，则的平方根为 ． 3．（2023春·广东东莞·八年级校考阶段练习）若实数满足，则代数式的值是 ． 4．（2023秋·山东济南·八年级校考阶段练习）已知a，b都是实数，若，则 ． 5．（2023春·全国·八年级专题练习）若实数x，y满足，则 ． 6．（2023春·湖北孝感·八年级校考阶段练习）已知，求的值． 7．（2023春·江西南昌·七年级校考期末）已知a、b、c为的三边长，且b、c满足，a为方程的解，求的周长，并判断的形状． 【类型二 利用乘法公式进行计算】 例题：（2023春·宁夏吴忠·八年级统考期末）计算：． 【变式训练】 1．（2023春·青海果洛·八年级统考期末）计算：． 2．（2023春·安徽滁州·八年级校考期中）计算：． 3．（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）计算： 4．（2023春·黑龙江大庆·七年级统考期末）计算： (1)； (2)． 5．（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）计算： (1)； (2)． 【类型三 整体代入求值】 例题：（2023春·山东临沂·八年级校考阶段练习）已知，求 ． 【变式训练】 1．（2023春·吉林松原·八年级校联考期中）如果，，那么 ． 2．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知，那么的值等于 ． 3．（2023春·广东东莞·八年级校考阶段练习）已知：，求的值． 4．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知，．求： (1)和的值； (2)求的值． 5．（2023秋·贵州·八年级统考阶段练习）已知，，则 (1)______；______；______． (2)根据以上的计算结果，利用整体代入的数学方法，计算式子的值． 【类型四 新定义型运算】 例题：（2023春·江苏泰州·八年级统考期末）对于任意的正数m，n，定义一种新的运算“*”：，则计算的结果为 ． 【变式训练】 1．（2023春·广西南宁·七年级校联考期中）对于两个不相等的实数a、b，定义一种新的运算如下，，如：，那么 ． 2．（2023秋·河北保定·七年级统考期末）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取，第三次“F运算”的结果是11．   若， （1）第一次“F运算”的结果为 ；第二次“F运算”的结果为 ； （2）照这样运算下去，第2022次“F运算”的结果为 ． 3．（2023秋·山西长治·九年级统考期末）对于任意的正实数和，我们定义新运算：，如：，求：的值． 4．（2023春·广东广州·八年级广州市第十六中学校考期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为 ，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． (1)已知：，求： ①________； ②结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (2)代数式中的取值范围是________，最大值是________，最小值是_________； (3)计算：． 【类型五 与二次根式有关的规律探究问题】 例题：（2023春·辽宁大连·八年级统考期中）观察下列各式，发现规律： ；；；… (1)填空：______，______； (2)计算（写出计算过程）：； (3)用含自然数的等式把你所发现的规律表示出来． 【变式训练】 1．（2023春·湖北随州·八年级统考期末）观察下列等式及验证，解答后面的问题： 第1个等式：，验证：； 第2个等式：，验证：； 第3个等式：，验证：． (1)请写出第4个等式，并验证； (2)按照以上各等式反映的规律，猜想第个为正整数，且等式，并通过计算验证你的猜想． 2．（2023秋·山西忻州·九年级校联考阶段练习）观察下列各式： ； ； ； (1)根据你发现的规律