专题15 二次函数中的存在性问题专训（8大题型）-2023-2024学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版）

专题15 二次函数中的存在性问题专训 【题型目录】 题型一 二次函数中直角三角形的存在性问题 题型二 二次函数中等腰三角形的存在性问题 题型三 二次函数中等腰直角三角形的存在性问题 题型四 二次函数中特殊角度的存在性问题 题型五 二次函数中平行四边形的存在性问题 题型六 二次函数中矩形的存在性问题 题型七 二次函数中菱形的存在性问题 题型八 二次函数中正方形的存在性问题 【经典例题一 二次函数中直角三角形的存在性问题】 1．（2022·湖南衡阳·校考模拟预测）如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线上的点，连接交直线于，当是中点时，求点的坐标； (3)在直线上，当为直角三角形时，求出点的坐标． 2．（2023·湖北孝感·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的三个顶点分别是，，点A在上，以A为顶点的抛物线过点，且对称轴交轴于点．连接，，点，为动点，设运动时间为秒．    (1)填空：点A坐标为______；抛物线的解析式为______． (2)在图①中，若点在线段上从点向点以个单位秒的速度运动，同时，点在线段上从点向点以个单位秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当为何值时，为直角三角形？ (3)在图②中，若点在对称轴上从点A开始向点以个单位秒的速度运动，过点作，交于点，过点作于点，交抛物线于点，连接，．当为何值时，的面积最大？最大值是多少？ 3．（2023春·湖南·九年级专题练习）如图所示，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线上的一个动点，且在直线上方，试求出面积的最大值； (3)点E是线段上异于B，C的动点，过点Q作轴于点F，交抛物线于点G．当为直角三角形时，请直接写出点G的坐标． 4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线关于直线对称，且经过A，C两点，与x轴交于另一点为B．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为直线上方的抛物线上的一点，过点P作轴于M，交于Q，求的最大值，并求此时P点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上找一点D，使是以为直角边的直角三角形，请求出点D的坐标． 【经典例题二 二次函数中等腰三角形的存在性问题】 1．（2023秋·陕西渭南·九年级统考阶段练习）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴正半轴交于点，已知抛物线的对称轴为．    (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2022秋·福建龙岩·九年级校考开学考试）如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与轴交于点C．    (1)在抛物线的对称轴上找一点D，使最短，求出D点坐标； (2)P是y轴正半轴上一点，且是以为腰的等腰三角形，试求P点坐标． 3．（2023秋·安徽六安·九年级统考开学考试）如图甲，直线与x轴、y轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为．    (1)求该抛物线的解析式； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以、、为顶点的三角形为等腰三角形若存在，请求出所符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当时，在抛物线上求一点，使的面积有最大值（图乙、丙供画图探究），并求出最大面积及点的坐标． 4．（2023秋·山东日照·九年级校考阶段练习）如图，抛物线与抛物线在同一个坐标系中（，均为常数，且），已知抛物线过点，过点作直线轴，交抛物线于另一点．    (1)________，点的坐标为________； (2)当抛物线经过点时． ①求抛物线的解析式； ②设直线与抛物线的另一交点记作，求的值； (3)设抛物线的顶点为，当为等腰三角形时，直接写出的值． 【经典例题三 二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】 1．（2023春·江西九江·九年级统考期中）已知抛物线，若把抛物线的顶点沿直线在第一象限内平行到点（n为非负整数），得到相应的抛物线为，抛物线与y轴的交点为．    (1)若，求抛物线的解析式和点的坐标； (2)填空：①当时，，的坐标为___________； ②当时，，的坐标为___________； ③根据①、②的结论，写出出的坐标为___________． (3)过作轴，垂足为B，若是等腰直角三角形，求n的值． 2．（2023·黑龙江佳木斯·校联考二模）如图，抛物线与轴相交于点和点．    (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上有一点，过点作轴的垂线交轴于点，若是等腰直角三角形，求点的坐标． 3．（2023春·广东·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物