2023-2024学年高中数学人教A版必修二 7.3复数的三角表示 同步练习

人教A版（2019）必修二7.3复数的三角表示 一、选择题（共11题） 1． 复数 的三角形式是（　　） A． B． C． D． 2． 欧拉公式 (为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．特别是当 时，被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”．根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3． 瑞士数学家欧拉在 1748年得到复数的三角形式：（ 为虚数单位），根据该式，计算 的值为（　　） A．-1 B．0 C．1 D． 4． 将复数 化成代数形式，正确的是（　　） A．4 B．-4 C． D． 5． 复数 的三角形式是（　　） A． B． C． D． 6． 若复数 的辐角的主值是 ，则实数 的值为（　　） A． B．-1 C． D． 7． 复数 的辐角主值是（　　） A． B． C． D． 8．（　　） A． B． C． D． 9．复数 的一个立方根是 ，它的另外两个立方根是（　　） A． B． C． D． 10． 欧拉公式 （ 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知， 表示的复数在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．已知为虚数单位，，，则 （　　） A． B． C． D． 二、填空题（共4题） 12． 复数 的三角形式是　 　． 13． 设 对应的向量为 将 绕原点按顺时针方向旋转 所得向量对应的复数的虚部为　 　． 14． 复数 的模是　 　． 15．若复数 满足 ，，则 的代数形式是 　 　． 三、解答题（共3题） 16．在复平面内，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为 ，，，（其中 为原点）．已知点 对应的复数 ，求 和 分别对应的复数 ，． 17． 已知实数 ，写出下列复数的辐角的主值． （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 18． 把复数 与 对应的向量 ， 分别按逆时针方向旋转 和 后，与向量 重合且模相等，已知 ，求复数 的代数式和它的辐角主值． 答案解析部分 1．【答案】A 【知识点】复数代数形式与三角形式的互化 【解析】【解答】由题意，， 故答案选A。 【分析】本题考核复数由代数形式化为三角形式，注意实部是，虚部是，思考找一个角是它的余弦是，正弦是，这个角是。 2．【答案】C 【知识点】复数在复平面中的表示 【解析】【解答】由题意可得：对应的点为， ∵，则， 故位于第三象限. 故答案为：C. 【分析】根据复数的几何意义结合象限角的三角函数值的符号分析判断，可得答案. 3．【答案】B 【知识点】复数的三角形式；复数代数形式与三角形式的互化 【解析】【解答】由题意可得： =cosπ+isinπ+1=-1+0+1=0， 故答案为：B. 【分析】根据复数的几何意义结合象限角的三角函数值的符号分析判断，可得答案. 4．【答案】D 【知识点】复数代数形式与三角形式的互化 【解析】【解答】由题意可得： 可得 ，， ∴ z = -4i . 故答案为：D. 【分析】先根据复数的代数式z=a+bi ，以及三角形式z = r（cosθ+isinθ）的转换，即可得答案。 5．【答案】B 【知识点】复数代数形式与三角形式的互化 【解析】【解答】由题意 故答案为B。 【分析】本题考核复数的基本概念，考查了复数的三角形式，先求的模，即可求出答案 6．【答案】B 【知识点】复数在复平面中的表示；复数的辅角 【解析】【解答】∵ ， arg Z = ； ∴ ∴， 解得a=-1； ∴ 答案选B ， 【分析】本题利用复数代数式与三角形式的转化以及辐角的概念。 7．【答案】C 【知识点】复数在复平面中的表示；复数的辅角 【解析】【解答】由题意，z= - sin100°+icos100° = - cos10° - isin10° =cos190°+isin190° ； ∴ arg z=190° ； 故答案选C。 【分析】将复数z的三角形式进行转化，利用辐角主值的含义求解即可。 8．【答案】C 【知识点】复数的三角形式；复数乘、除运算的三角表示 【解析】【解答】由题意， ； 故答案选C。 【分析】考核复数的三角形式的复数运算。 9．【答案】D 【知识点】复数代数形式的混合运算；复数代数形式与三角形式的互化 【解析】【解答】∵； ∴-