专题4.5 数学归纳法-2023-2024学年高二数学知识•考点培优讲义（人教A版2019选择性必修第二册）

专题4.5数学归纳法 知识点一 数学归纳法 1.证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*) 时命题成立． (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立． 知识点二 数学归纳法的框图表示 考点01 对数学归纳法的认识 【典例01】（2023春·北京房山·高二统考期末）用数学归纳法证明，从到，左边需要增加的因式是（    ） A． B． C． D． 【典例02】（2023春·河南驻马店·高二统考期中）用数学归纳法证明不等式：，从到时，不等式左边需要增加的项为（    ） A． B． C． D． 考点02 应用数学归纳法证明恒等式 【典例03】（2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明：． 【典例04】（2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明：． 【总结提升】 数学归纳法证明等式的思路和注意点 (1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少． (2)注意点：由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法． 考点03 应用数学归纳法证明整除性问题 【典例05】（2023·全国·高二随堂练习）设，用数学归纳法证明：是64的倍数． 【典例06】（2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明：能被整除（） 【总结提升】 1.用数学归纳法证明整除问题时，首先从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除．其中的关键是“凑项”，可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法分析出因子，从而利用归纳假设使问题得到解决． 2.利用数学归纳法证明整除问题，由归纳假设P(k)能被p整除，证P(k＋1)能被p整除，也可运用结论：若P(k＋1)－P(k)能被p整除⇒P(k＋1)能被p整除．或利用“∵P(k)能被P整除，∴存在整式q(k)，使P(k)＝P·q(k)”，将P(k＋1)变形转化分解因式产生因式p． 考点04 应用数学归纳法证明不等式 【典例07】（2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明：． 【典例08】（2023·全国·高二随堂练习）设，，且，用数学归纳法证明：． 【规律方法】 1.数学归纳法证明不等式的适用范围及关键 (1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法． (2)关键：由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用均值不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化. 2.需要注意的是： (1)在应用归纳假设证明过程中，方向不明确时，可采用分析法完成，经过分析找到推证的方向后，再用综合法、比较法等其他方法证明． (2)在推证“n＝k＋1时不等式也成立”的过程中，常常要将表达式作适当放缩变形，以便于应用归纳假设，变换出要证明的结论． 考点05 应用数学归纳法证明数列问题 【典例09】（2023春·辽宁大连·高二统考期末）记数列的前项和为，已知，是公差为2的等差数列． (1)求的通项公式： (2)若，数列的前项和为，求证：． 【典例10】（2022春·辽宁大连·高一大连八中校考期中）设等差数列的前项和为，，，数列的前项和为，满足，. (1)求数列、的通项公式； (2)记，，用数学归纳法证明：. 【总结提升】 数学归纳法中用放缩技巧证明数列不等式的关键在于观察通项特征和所证结论，适当调整放缩幅度，做到放缩得恰到好处，同时还要做到放缩求和两兼顾.将不等式加强主要是为了方便使用数学归纳法证明，考查了转化思想和运算能力、推理能力． 考点06 应用数学归纳法证明其它问题 【典例11】（2023·全国·高二随堂练习）求凸n边形的对角线的条数． 【典例12】（2023·全国·高二课堂例题）在平面上画n条直线，且任何2条直线都相交，其中任何3条直线不共点.问：这n条直线将平面分成多少个部分？ 考点07 归纳----猜想----证明 【典例13】（2023秋·高二课时练习）设数列的各项均为正整数，且．记．如果对于所有的正整数均有． (1)求，，，，； (2)猜想的通项公式，并加以证明． 【典例14】（2023春·陕西西安·高二校考期中）设数列满足，. (1)计算，，猜想的通项公式并用数学归纳法加以证明； (2)若数列的前项和为，证明：. 【总结提升】 1.数学归纳法源于对某些猜想的证明，而猜想是根据不完全归