8.2 8.2.1 一元线性回归模型 8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修3同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

8.2　一元线性回归模型及其应用 8．2.1　一元线性回归模型 8．2.2　一元线性回归模型参数的最小二乘估计 [学习目标]　1.结合实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义．　2.了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法．　3.了解随机误差、残差、残差图的概念，会通过分析残差和利用R2判断回归模型的拟合效果．　4.了解回归分析的基本思想方法和初步应用，针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测．　5.了解非线性回归模型． 知识点一　经验回归方程 生活经验告诉我们，儿子的身高与父亲的身高具有正相关的关系，为了进一步研究两者之间的关系，有人调查了14名男大学生的身高及其父亲的身高，得到的数据如表所示： 编号 1 2 3 4 5 6 7 父亲身高 174 170 173 169 182 172 180 儿子身高 176 176 170 170 185 176 178 编号 8 9 10 11 12 13 14 父亲身高 172 168 166 182 173 164 180 儿子身高 174 170 168 178 172 165 182 我们画出散点图(课本105页图8.2.1)并通过计算得到样本相关系数r≈0.886． 1．由样本相关系数可以得到什么结论？ 提示：由散点图的分布趋势表明儿子的身高与父亲的身高线性相关，通过样本相关系数可知儿子的身高与父亲的身高正线性相关，且相关程度较高． 2．这两个变量之间的关系可以用函数模型来刻画吗？ 提示：不能．因为这两个变量之间不是函数关系．可以用新的模型——一元线性回归模型表示． 3．在一元线性回归模型中，表达式Y＝bx＋a＋e刻画了变量Y与x之间的线性相关关系，其中参数a和b未知，确定参数a和b的原则是什么？ 提示：使表示成对样本数据的各散点在整体上与一条适当的直线尽可能地接近． 1．一元线性回归模型 一元线性回归模型的完整表达式为其中Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数，e是Y与bx＋a之间的随机误差． 2．最小二乘法与经验回归方程 (1)最小二乘法 ＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计． 学生用书↓第67页 (2)经验回归方程的系数计算公式 经验回归方程 的计算公式 的计算公式 ＝_x＋_ ＝ ＝－ (3)经验回归方程的性质 ①经验回归方程一定过点(，)； ②一次函数＝x＋的单调性由的符号决定，函数递增的充要条件是_>0； ③的实际意义：当x增大一个单位时，增大个单位． [微提醒]　 (1)随机误差e的均值为0，方差为与变量x无关的定值σ2； (2)Y与x正相关的充要条件是>0，Y与x负相关的充要条件是<0； (3)经验回归直线的截距和斜率都是通过样本估计而得到的，存在着误差，这种误差可能导致预测结果的偏差； (4)经验回归方程＝＋x中的表示x增加1个单位时，y的平均变化量为，而表示y不随x的变化而变化的部分； (5)可以利用经验回归方程＝＋x预测在x取某值时，y的估计值． 某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，该地一银行连续五年年底的储蓄存款情况如下表所示． 年份x 2016 2017 2018 2019 2020 储蓄存款额y/千亿元 5 6 7 8 10 为了计算方便，工作人员将上表的数据进行了处理，令t＝x－2 015, z＝y－5，得到下表． t 1 2 3 4 5 z 0 1 2 3 5 (1)求z关于t的经验回归方程； (2)通过(1)中的方程，求出y关于x的经验回归方程； (3)用所求经验回归方程预测到2023年年底，该地此银行储蓄存款额可达到多少？ 解析：(1)＝3，＝2.2，izi＝45，t＝55，则＝＝1.2， ＝－＝2.2－1.2×3＝－1.4． 所以z关于t的经验回归方程为＝1.2t－1.4． (2)＝1.2t－1.4，代入t＝x－2 015，z＝y－5， 得－5＝1.2(x－2 015)－1.4，即＝1.2x－2 414.4． 故y关于x的经验回归方程为＝1.2 x－2 414.4． (3)将x＝2 023代入＝1.2 x－2 414.4中得，＝1.2×2 023－2 414.4＝13.2， 所以预测到2023年年底，该地此银行储蓄存款额可达到13.2千亿元． 方法技巧 求经验回归方程的步骤 第一步：计算平均数，． 第二步：计算xi与yi的积，求xiyi． 第三步：计算x．